0087-2020 横国工 机械 P18

控制学 控制工程 闭环传递函数 稳态误差

下のブロック線図で表される閉ループ系について考える．ブロック C, P はそれぞれ以下の方程式で表される．

$$C:u(t)=Ke(t)P:T\frac{dy(t)}{dt}+y(t)=u(t)$$

ただし $t$ は時刻を表し，$K>0$, $T>0$ とする．

1. 閉ループ伝達関数 $W(s)=Y(s)/R(s)$ を求めよ．ただし $Y(s),R(s)$ はそれぞれ $y(t),r(t)$ のラプラス変換とする．
2. 閉ループ系の時定数を求めよ．
3. 単位ステップ入力 $r(t)=1$ に対する閉ループ系の出力 $y(t)$ の定常偏差を求めよ．
4. $T=0.2$ のとき，正弦波入力 $r(t)=\sin 10t$ に対する閉ループ系のゲインが $-3\text{dB}$ より大きくなる $K$ の範囲を求めよ．ただし $20{\log }_{10}\sqrt{2}=3$ として計算してよい．

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解答：

ラプラス変換により：

$$C(s)=K$$ $$\begin{array}{rl}TsY(s)+Y(s)& =U(s)\\ ⟹P(s)& =\frac{1}{Ts+1}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}W(s)& =\frac{C(s)P(s)}{1+C(s)P(s)}\\ & =\frac{\frac{K}{Ts+1}}{1+\frac{K}{Ts+1}}\end{array}$$ $$\boxed{W(s)=\frac{K}{Ts+K+1}}$$

$W(s)$ を標準形に変形：

$$W(s)=\frac{\frac{K}{K+1}}{\frac{T}{K+1}s+1}$$ $$\boxed{\frac{T}{K+1}}$$

誤差信号 $E(s)=R(s)-Y(s)=\frac{1}{1+C(s)P(s)}R(s)$
$R(s)=\frac{1}{s}$ より：

$$E(s)=\frac{Ts+1}{Ts+K+1}\frac{1}{s}$$

最終値の定理より定常偏差 $e_{ss}$ は：

$$\begin{array}{rl}{e}_{ss}& =\underset{s\to 0}{\lim }sE(s)\\ & =\underset{s\to 0}{\lim }\frac{Ts+1}{Ts+K+1}\\ & =\frac{1}{K+1}\end{array}$$ $$\boxed{\frac{1}{K+1}}$$

$$\begin{array}{rl}T& =0.2\omega =10\\ ⟹\omega T& =2\end{array}$$ $$W(j\omega )=\frac{K}{j\omega T+K+1}$$ $$|W(j10)|=\frac{K}{\sqrt{2^2+(K+1{)}^2}}$$

条件より $20{\log }_{10}|W(j10)|>-3=-20{\log }_{10}\sqrt{2}=20{\log }_{10}\frac{1}{\sqrt{2}}$

$$|W(j10)|>\frac{1}{\sqrt{2}}$$ $$\frac{K}{\sqrt{4+(K+1{)}^2}}>\frac{1}{\sqrt{2}}$$

$K>0$ より両辺を正として2乗する：

$$2K^2>4+(K+1{)}^2$$ $$K^2-2K-5>0$$

$K>0$ を満たす解は：

$$\boxed{K>1+\sqrt{6}}$$

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这道题主要考察了控制系统中闭环传递函数的求解、一阶系统的时间常数、稳态误差的计算以及频域响应中增益的分析。首先通过拉普拉斯变换将时域的微分方程转化为频域代数方程，利用方框图代数求出前向通道和开环传递函数，进而得到闭环传递函数。然后需要将其化为一阶系统的标准形式，提取出分母中s的系数即为闭环时间常数。求解稳态误差时，结合单位阶跃输入的拉氏变换，利用终值定理求极限便能得到结果。最后一问涉及频率响应，将s替换为jω求得闭环频率特性，并计算给定频率下的幅值。题目中给出的-3dB条件对应幅值大于根号二分之一，将其代入已知参数解出一元二次不等式即可得到增益K的最终取值范围。