0086-2020 横国工 机械 P16

流体力学 伯努利方程 角动量守恒 流线方程

Fig.1のように密度$\rho$の流体が原点の周りに軸対称に流出している。ある半径$r_1$における半径方向流速が$v_{r1}$、周方向流速が$v_{\theta 1}$、圧力が$p_1$であったとして、以下の問に答えよ。流れは非圧縮流れかつ定常流れであるとし、流体に働く摩擦トルクは無視できるものと仮定する。また流れは軸方向には運動のない、2次元流れであるとする。回答は最終的な答えだけではなく、求める過程も簡潔に示すこと。
(1) 半径$r$における半径方向流速$v_r(r)$を求めなさい。
(2) 半径$r$における周方向流速$v_{\theta }(r)$を求めなさい。
(3) 半径$r$における圧力$p(r)$を求めなさい。ただし重力と損失を無視して良い。
(4) この流れにおいて、流速ベクトルが接線方向に対してなす角$\zeta$が一定であることを示しなさい。
(5) この流れの流線の上での半径$r$と円周角$\theta$の関係を$r=f(\theta )$の形の式で求めなさい。ただしこの流線は$\theta =0$の時に半径$r_1$の位置を通るものとする。

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解答：

(1)
非圧縮・定常・2次元の軸対称流れであるため、連続の式より任意の半径$r$を通過する体積流量は一定である。単位奥行きあたりで考えると：

$$2\pi r{v}_r(r)=2\pi r_1{v}_{r1}$$ $$\boxed{v_r(r)=\frac{r_1}{r}{v}_{r1}}$$

(2)
流体に働く摩擦トルクは無視できるため、角運動量保存則が成り立つ：

$$r{v}_{\theta }(r)=r_1{v}_{\theta 1}$$ $$\boxed{v_{\theta }(r)=\frac{r_1}{r}{v}_{\theta 1}}$$

(3)
定常、非圧縮、損失なし、重力無視であるため、ベルヌーイの定理が適用できる：

$$p(r)+\frac{1}{2}\rho (v_r(r{)}^2+v_{\theta }(r{)}^2)=p_1+\frac{1}{2}\rho (v_{r1}^2+v_{\theta 1}^2)$$

(1)と(2)の結果を代入する：

$$p(r)+\frac{1}{2}\rho \left({\left(\frac{r_1}{r}{v}_{r1}\right)}^2+{\left(\frac{r_1}{r}{v}_{\theta 1}\right)}^2\right)=p_1+\frac{1}{2}\rho (v_{r1}^2+v_{\theta 1}^2)$$ $$p(r)+\frac{1}{2}\rho {\left(\frac{r_1}{r}\right)}^2(v_{r1}^2+v_{\theta 1}^2)=p_1+\frac{1}{2}\rho (v_{r1}^2+v_{\theta 1}^2)$$ $$\boxed{p(r)=p_1+\frac{1}{2}\rho (v_{r1}^2+v_{\theta 1}^2)\left(1-{\left(\frac{r_1}{r}\right)}^2\right)}$$

(4)
流速ベクトルが接線方向となす角$\zeta$について、幾何学的な関係から次式が成り立つ：

$$\tan \zeta =\frac{v_r(r)}{v_{\theta }(r)}$$

(1)と(2)の結果を代入すると：

$$\begin{array}{rl}\tan \zeta & =\frac{\frac{r_1}{r}{v}_{r1}}{\frac{r_1}{r}{v}_{\theta 1}}\\ & =\frac{v_{r1}}{v_{\theta 1}}\end{array}$$

$v_{r1}$と$v_{\theta 1}$は定数であるため$\tan \zeta$は一定となり、したがって$\zeta$も一定である。(証明終)

(5)
極座標系における流線の微分方程式は次のように表される：

$$\frac{dr}{v_r}=\frac{rd\theta }{v_{\theta }}$$

これを変形すると：

$$\frac{1}{r}\frac{dr}{d\theta }=\frac{v_r(r)}{v_{\theta }(r)}$$

(4)より$\frac{v_r(r)}{v_{\theta }(r)}=\frac{v_{r1}}{v_{\theta 1}}$であるから：

$$\frac{dr}{r}=\frac{v_{r1}}{v_{\theta 1}}d\theta$$

両辺を積分する：

$$\ln r=\frac{v_{r1}}{v_{\theta 1}}\theta +C(C\text{は積分定数})$$

境界条件として、$\theta =0$のとき$r=r_1$を代入する：

$$\begin{array}{rl}\ln r_1& =0+C\\ ⟹C& =\ln r_1\end{array}$$

したがって：

$$\begin{array}{rl}\ln r-\ln r_1& =\frac{v_{r1}}{v_{\theta 1}}\theta \\ ⟹\ln \left(\frac{r}{r_1}\right)& =\frac{v_{r1}}{v_{\theta 1}}\theta \end{array}$$ $$\boxed{r=r_1\exp \left(\frac{v_{r1}}{v_{\theta 1}}\theta \right)}$$

这道流体力学题目考察的是二维势流理论中点源与自由旋涡叠加而成的螺旋线流场。第一问基于流体不可压缩且为二维定常流动的假设，通过质量守恒定律即可得出径向速度与半径成反比的关系。第二问利用了无摩擦力矩条件下的角动量守恒，推导出周向速度同样与半径成反比。第三问在无粘性、无损失和忽略重力的前提下应用伯努利方程，将前两问得出的速度代入即可求出任意半径处的压力分布。第四问通过速度三角形分析，由于径向速度和周向速度随半径变化的比例完全相同，两者之比为常数，因此合速度与切向的夹角保持不变。最后一问通过极坐标下的流线微分方程进行积分求解，结合初始条件得到流线的几何形状为一个对数螺旋线。整体求解过程体现了基础流体力学控制方程在理想流场中的综合运用。