0085-2020 横国工 机械 P15

振动学 机械振动 多自由度系统

上図に示されるように、等しい質量$m$の質点A、Bをばね定数$k$の線形ばねで連結し水平な床面に置く。さらに、ばね定数$k$の線形ばねの一端を壁に固定し、他端をAに取り付ける。時間$t$におけるA、Bの変位を各々$x_1(t)$、$x_2(t)$とし、二つの線形ばねが自然長のとき、$x_1=x_2=0$とする。また床面との摩擦力は無視できるものとする。次の問に答えよ。
(1) A、Bについて、それぞれ水平方向の運動方程式を$m$、$k$、$x_1$、$x_2$を用いて答えよ。
(2) A、Bが自由振動する場合の固有角振動数${\omega }_1$、${\omega }_2$を$m$、$k$を用いて答えよ。ただし、${\omega }_1<{\omega }_2$とする。
(3) A、Bの振動が1次（固有角振動数${\omega }_1$）あるいは2次（固有角振動数${\omega }_2$）の振動モードのみを含む場合、$x_2(t)=R_i{x}_1(t)$の関係が成立する($i=1,2$)。Aの運動方程式から求められる$R_i$を$m$、$k$、${\omega }_i$を用いて答えよ。
(4) A、Bが自由振動する場合、一般には1次及び2次の両方の振動モードを含むため、$x_1(t)$を次のように表現できる。 $x_1(t)=a_1\cos {\omega }_{1}t+b_1\sin {\omega }_{1}t+a_2\cos {\omega }_{2}t+b_2\sin {\omega }_{2}t$ この時、$x_2(t)$を${\omega }_1$、${\omega }_2$、$R_1$、$R_2$、$a_1$、$b_1$、$a_2$、$b_2$、$t$を用いて答えよ。
(5) 初期条件$x_1(0)=L$、$x_2(0)={\dot{x}}_1(0)={\dot{x}}_2(0)=0$のときの、$x_1(t)$、$x_2(t)$を${\omega }_1$、${\omega }_2$、$R_1$、$R_2$、$L$、$t$を用いて答えよ。

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解答：

(1)

$$\boxed{\{\begin{array}{l}m{\ddot{x}}_1=-2k{x}_1+k{x}_2\\ m{\ddot{x}}_2=k{x}_1-k{x}_2\end{array}}$$

(2)
運動方程式を行列表記すると $\left(\begin{array}{cc}m& 0\\ 0& m\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{\ddot{x}}_1\\ {\ddot{x}}_2\end{array}\right)+\left(\begin{array}{cc}2k& -k\\ -k& k\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$
特性方程式 $\det \left(\begin{array}{cc}2k-m{\omega }^2& -k\\ -k& k-m{\omega }^2\end{array}\right)=0$ より

$$m^2{\omega }^4-3mk{\omega }^2+k^2=0$$

これを解いて ${\omega }^2=\frac{3\pm \sqrt{5}}{2}\frac{k}{m}$
${\omega }_1<{\omega }_2$ より

$$\boxed{\{\begin{array}{l}{\omega }_1=\sqrt{\frac{3-\sqrt{5}}{2}\frac{k}{m}}\\ {\omega }_2=\sqrt{\frac{3+\sqrt{5}}{2}\frac{k}{m}}\end{array}}$$

(3)
Aの運動方程式 $m{\ddot{x}}_1=-2k{x}_1+k{x}_2$ に $x_1(t)=X_1{e}^{j{\omega }_{i}t}$、$x_2(t)=X_2{e}^{j{\omega }_{i}t}$ を代入して

$$-m{\omega }_i^2{X}_1=-2k{X}_1+k{X}_2$$

$R_i=\frac{X_2}{X_1}$ より

$$\boxed{R_i=\frac{2k-m{\omega }_i^2}{k}}$$

(4)
重ね合わせの理と $x_2(t)=R_i{x}_1(t)$ （各モードについて）より

$$\boxed{x_2(t)=R_1(a_1\cos {\omega }_{1}t+b_1\sin {\omega }_{1}t)+R_2(a_2\cos {\omega }_{2}t+b_2\sin {\omega }_{2}t)}$$

(5)
${\dot{x}}_1(0)={\dot{x}}_2(0)=0$ より $b_1=b_2=0$
$t=0$ での条件を変位の式に代入し：

$$\{\begin{array}{l}{a}_1+a_2=L\\ R_1{a}_1+R_2{a}_2=0\end{array}$$

これを解いて $a_1=\frac{R_{2}L}{R_2-R_1}$、$a_2=-\frac{R_{1}L}{R_2-R_1}$
したがって

$$\boxed{\{\begin{array}{l}{x}_1(t)=\frac{R_{2}L}{R_2-R_1}\cos {\omega }_{1}t-\frac{R_{1}L}{R_2-R_1}\cos {\omega }_{2}t\\ x_2(t)=\frac{R_1{R}_{2}L}{R_2-R_1}(\cos {\omega }_{1}t-\cos {\omega }_{2}t)\end{array}}$$

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补充说明：
这是一道经典的多自由度系统无阻尼自由振动问题。解答这类问题首先需要通过牛顿第二定律对系统中的每个质点进行受力分析，建立常微分方程组。在这里，质点A受到两根弹簧的恢复力，而质点B只受一根弹簧的力。建立方程后，假设系统作简谐振动，通过令系数矩阵的行列式为零（即求解特征值问题）可以求得系统的固有角频率。利用求得的固有频率代入原方程可以进一步得出对应振型中两个质点的振幅比，这表示了系统在特定固有频率下的振动模态。系统一般的自由振动可以视为各个阶次主振动的线性叠加。最后，通过将初始时刻的位移和速度条件代入通解表达式及其导数中，解出线性组合的待定系数，就能得到完全确定的瞬态响应时间函数。