0084-2020 横国工 机械 P13

材料力学 卡氏定理 梁的变形

下図に示す剛体壁に点 A が固定されている同じ水平面内にあるはり ABC ( $\angle \text{ABC}=90^{\circ }$ ) に鉛直方向の一様な分布力 $q$ が作用するとき、点 C の鉛直方向の変位を求めよ．

ただし，はり AB、BC の長さを $l$ とし、曲げ剛性とねじり剛性をそれぞれ $E{I}_z$ と $G{I}_p$ とする．

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解答：

点Cに鉛直下向きの仮想荷重 $P$ を加える。
BC間（CからBへ距離 $x_1$、$0\le x_1\le l$）：
曲げモーメント：$M_1=-\frac{1}{2}q{x}_1^2-P{x}_1$
ねじりモーメント：$T_1=0$

AB間（BからAへ距離 $x_2$、$0\le x_2\le l$）：
曲げモーメント：$M_2=-\frac{1}{2}q{x}_2^2-ql{x}_2-P{x}_2$
ねじりモーメント：$T_2=\frac{1}{2}q{l}^2+Pl$

カスティリアノの定理より、点Cの鉛直変位 ${\delta }_C$ は、全ひずみエネルギー $U$ を $P$ で偏微分し、$P=0$ とおくことで得られる。

$$\begin{array}{rl}{\delta }_C& ={\frac{\partial U}{\partial P}|}_{P=0}\\ & ={\int }_0^l\frac{M_1}{E{I}_z}\frac{\partial M_1}{\partial P}d{x}_1+{\int }_0^l\frac{M_2}{E{I}_z}\frac{\partial M_2}{\partial P}d{x}_2+{\int }_0^l\frac{T_2}{G{I}_p}\frac{\partial T_2}{\partial P}d{x}_2{|}_{P=0}\end{array}$$

$P=0$ のとき、

$$\begin{array}{rl}{M}_1& =-\frac{1}{2}q{x}_1^2\frac{\partial M_1}{\partial P}\\ & =-x_1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{M}_2& =-\frac{1}{2}q{x}_2^2-ql{x}_2\frac{\partial M_2}{\partial P}\\ & =-x_2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{T}_2& =\frac{1}{2}q{l}^2\frac{\partial T_2}{\partial P}\\ & =l\end{array}$$

各積分を計算する：

$$\begin{array}{rl}{\int }_0^l\frac{1}{E{I}_z}\left(-\frac{1}{2}q{x}_1^2\right)(-x_1)d{x}_1& =\frac{q}{2E{I}_z}{\left[\frac{x_1^4}{4}\right]}_0^l\\ & =\frac{q{l}^4}{8E{I}_z}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\int }_0^l\frac{1}{E{I}_z}\left(-\frac{1}{2}q{x}_2^2-ql{x}_2\right)(-x_2)d{x}_2& =\frac{q}{E{I}_z}{\left[\frac{x_2^4}{8}+\frac{l{x}_2^3}{3}\right]}_0^l\\ & =\frac{11q{l}^4}{24E{I}_z}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\int }_0^l\frac{1}{G{I}_p}\left(\frac{1}{2}q{l}^2\right)(l)d{x}_2& =\frac{q{l}^3}{2G{I}_p}{\left[x_2\right]}_0^l\\ & =\frac{q{l}^4}{2G{I}_p}\end{array}$$

これらを足し合わせる：

$$\begin{array}{rl}{\delta }_C& =\frac{q{l}^4}{8E{I}_z}+\frac{11q{l}^4}{24E{I}_z}+\frac{q{l}^4}{2G{I}_p}\\ & =\frac{14q{l}^4}{24E{I}_z}+\frac{q{l}^4}{2G{I}_p}\\ & =\frac{7q{l}^4}{12E{I}_z}+\frac{q{l}^4}{2G{I}_p}\end{array}$$ $$\boxed{{\delta }_C=\frac{7q{l}^4}{12E{I}_z}+\frac{q{l}^4}{2G{I}_p}}$$

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本题考查的是空间折线梁在分布载荷作用下的位移计算，最直接有效的方法是利用卡氏第二定理（或单位载荷法）。

在求解过程中，需要分别建立AB段和BC段的内力方程。对于外伸的BC段，它仅受到自身的均布载荷作用，产生纯弯曲；而对于AB段，它不仅承受自身的均布载荷引起的弯矩，还要承受BC段传来的剪力（相当于在B点产生一个向下的集中力）和弯矩（相当于在AB段产生绕其轴线的扭矩）。

如果从莫尔积分或叠加原理的物理意义去理解，C点的总铅垂位移实际上由三部分组成：
首先是BC段自身作为悬臂梁在均布载荷下产生的挠度（对应第一项积分结果）；
其次是AB段发生弯曲导致B点产生下沉，由于是刚性连接，这个平移下沉量会完全传递给C点（对应第二项积分结果）；
最后是BC段传来的弯矩使AB段发生扭转，B点的扭转角乘上BC段的力臂长度，就会在C点产生额外的铅垂位移（对应第三项积分结果）。
需要注意的是，虽然AB段存在弯曲挠角，但由于该转动的轴线与BC段延伸方向平行，因此该转角不会在C点引起铅垂方向的额外位移。将上述三部分位移叠加化简，即可得到最终的位移表达式。