0083-2020 横国工 机械 P12

力学 工程热力学 爱立信循环

等温圧縮（状態 1→2）、等圧加熱（状態 2→3）、等温膨張（状態 3→4）、等圧冷却（状態 4→1）の4過程から構成されるサイクルをエリクソンサイクルという。ここで作動流体は理想気体とし、$P$は圧力、$V$は体積、$T$は絶対温度、$S$はエントロピーを表す。また、サイクルの各状態における状態量を下付き数字で表すものとする（例えば、状態1における絶対温度を$T_1$と表す）。

(1) このサイクルの $P-V$ 線図および $T-S$ 線図を描け。
(2) このサイクルの熱効率を、$T_1$、$T_3$、比熱比 $\kappa$、圧力比 $r(=P_2/P_1)$ を用いて表せ。
(3) 等圧冷却過程での除熱量 $Q_{41}$（状態 4→1）を完全に回収して等圧加熱（状態 2→3）に利用した場合の熱効率を、温度 $T_3$ と $T_1$ の熱源間で動作するカルノーサイクルの熱効率と比較せよ。

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解答：

(1)

$P-V$線図：$P=P_1,P_2$の水平線2本と、$PV=R{T}_1,R{T}_3$の双曲線2本で囲まれる閉曲線。
$T-S$線図：$T=T_1,T_3$の水平線2本と、$S=C_p\ln T-R\ln P_1,S=C_p\ln T-R\ln P_2$の対数曲線2本で囲まれる閉曲線。

(2)
$T_1=T_2$、$T_3=T_4$、$P_2=P_3$、$P_1=P_4$
吸熱量 $Q_{in}=Q_{23}+Q_{34}=C_p(T_3-T_1)+R{T}_3\ln r$
放熱量 $Q_{out}=|Q_{41}|+|Q_{12}|=C_p(T_3-T_1)+R{T}_1\ln r$
正味仕事 $W=Q_{in}-Q_{out}=R(T_3-T_1)\ln r$
$C_p=\frac{\kappa R}{\kappa -1}$ より、

$$\begin{array}{rl}\eta & =\frac{W}{Q_{in}}\\ & =\frac{R(T_3-T_1)\ln r}{\frac{\kappa R}{\kappa -1}(T_3-T_1)+R{T}_3\ln r}\end{array}$$ $$\boxed{\eta =\frac{(\kappa -1)(T_3-T_1)\ln r}{\kappa (T_3-T_1)+(\kappa -1)T_3\ln r}}$$

(3)
完全回生条件：$Q_{23}=|Q_{41}|$
外部からの吸熱量 $Q_{in}^{\prime }=Q_{34}=R{T}_3\ln r$
回生サイクルの熱効率 ${\eta }_{reg}=\frac{W}{Q_{in}^{\prime }}=\frac{R(T_3-T_1)\ln r}{R{T}_3\ln r}=1-\frac{T_1}{T_3}$
カルノーサイクルの熱効率 ${\eta }_C=1-\frac{T_1}{T_3}$
したがって ${\eta }_{reg}={\eta }_C$ となり、両者は等しい。(証明終)

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这道题目考察的是理想气体在爱立信循环中的热力学过程分析以及热效率的计算。由于爱立信循环由两个等温过程和两个等压过程组成，我们需要利用理想气体状态方程和比热容的关系来推导吸放热量。

在第二问中，计算循环整体的热效率需要明确总的吸热量和放热量。系统的吸热不仅发生在高温的等温膨胀阶段，也发生在等压加热阶段；同理，放热发生在低温等温压缩和等压冷却阶段。整个循环的净功可以通过总吸热量减去总放热量得到。通过代入定压比热容与气体常数的关系式，也就是利用比热比的定义，可以把表达式化简为仅含温度、压力比和比热比的函数形式。

第三问引入了理想回生的概念。因为等压加热和等压冷却过程发生在相同的两个温度界限之间，且对于理想气体而言，这两个过程的焓变绝对值完全相等。如果将等压冷却时释放的热量完全回收并用于等压加热，那么系统与外界环境之间的热交换就只剩下两个等温过程了。这就意味着外部热源只在最高温时输入热量，只在最低温时吸收废热。经过计算净功与外部吸热量的比值，你会发现它的热效率表达式与工作在这两个温度之间的卡诺循环完全一致。这也从侧面印证了在具有理想回生的情况下，爱立信循环可以达到热力学第二定律允许的最高效率。