解答：
A=2333−1030−1 とおく。
固有多項式は
∣A−λI∣=3⋅33−1−λ0+(−1−λ)⋅2−λ33−1−λ
=3(3+3λ)+(−1−λ)[(λ−2)(λ+1)−9]
=9(λ+1)−(λ+1)(λ2−λ−11)
=(λ+1)(9−λ2+λ+11)
=−(λ+1)(λ2−λ−20)
=−(λ+1)(λ−5)(λ+4)=0
λ=−1,−4,5
(i) λ=−1 のとき
(A+I)x⟹{x1=0x2+x3=0=[333300300][x1x2x3]=[000]
x=C101−1
(ii) λ=−4 のとき
(A+4I)x⟹{2x1+x2+x3=0x1+x2=0=[633330303][x1x2x3]=[000]
x=C21−1−1
(iii) λ=5 のとき
(A−5I)x⟹{−x1+x2+x3=0x1−2x2=0=[−3333−6030−6][x1x2x3]=[000]
x=C3211
λ=−1 のとき、固有ベクトル C101−1λ=−4 のとき、固有ベクトル C21−1−1λ=5 のとき、固有ベクトル C3211(C1,C2,C3 は 0 でない任意の定数)
求解矩阵的特征值与特征向量是线性代数的经典基础题。首先写出特征方程，即矩阵减去单位阵乘特征值的行列式等于零。计算三阶行列式时可以利用代数余子式展开或行列式的性质进行提取公因式化简，得出特征多项式并求根，这些根即为矩阵的特征值。接着针对每一个求出的特征值，分别代回特征矩阵中，求解对应的齐次线性方程组。通过对增广矩阵进行初等行变换将其化为阶梯型，求出的基础解系就是对应的特征向量。注意特征向量根据定义不能为零向量，因此最终答案应表示为基础解系的非零常数倍。