0081-2020 横国工 数学 P11

常微分方程 高等数学

微分方程式 $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-12y=0,y(0)=0,y^{\prime }(0)=1$ の解を求めよ．

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解答：

$${\lambda }^2+\lambda -12=0$$ $$\begin{array}{rl}(\lambda +4)(\lambda -3)& =0\\ ⟹{\lambda }_1& =-4{\lambda }_2=3\end{array}$$ $$y(x)=C_1{e}^{-4x}+C_2{e}^{3x}$$ $$y^{\prime }(x)=-4C_1{e}^{-4x}+3C_2{e}^{3x}$$ $$\begin{array}{rl}y(0)& =0\\ ⟹C_1+C_2& =0\\ ⟹C_1& =-C_2\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{y}^{\prime }(0)& =1\\ ⟹-4C_1+3C_2& =1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}-4(-C_2)+3C_2& =1\\ ⟹7C_2& =1\\ ⟹C_2& =\frac{1}{7}\end{array}$$ $$C_1=-\frac{1}{7}$$ $$\boxed{y=\frac{1}{7}{e}^{3x}-\frac{1}{7}{e}^{-4x}}$$

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这是一道求解二阶常系数齐次线性微分方程初值问题的题目。首先写出该微分方程对应的特征方程，通过因式分解求出特征方程的两个不相等的实数根。根据特征根写出包含两个未知常数的微分方程通解形式。接着对通解求一阶导数，并将题目中给定的函数在零点的值以及导函数在零点的值作为初始条件分别代入，从而建立一个关于两个未知常数的二元一次方程组。求解该方程组得到常数的具体数值，最后将其代回原通解中即可得到满足给定初始条件的特解。