0079-2019 横国工 机械 P7

流体力学 润滑理论 Navier-Stokes方程

(1) 図1のように距離$h$を隔てた平行な二平板間に流体が満たされている. 流体は2次元非圧縮性で定常流とし, 流れは層流で, $y$方向の速度成分$v$, および$y$方向の圧力勾配$dp/dy$は無視できるとすると, ナヴィエ・ストークス方程式は以下の常微分方程式となる.

$$\frac{dp}{dx}=\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}$$

上板が静止しており, 下板が速度$U$で$x$方向に動いているとき, 平板間の流体の流量$Q$, および, 下板面のせん断応力${\tau }_w$を$U,\mu ,h,dp/dx$を用いて示せ.

(2) 次に図2のように上板が角度$\theta$で緩やかに傾いている場合を考える. (1)と同様に上板は静止しており, 下板は速度$U$で$x$方向に動いている. $\theta$は非常に小さいと考え, $y$方向の速度成分$v$, および$y$方向の圧力勾配$dp/dy$は無視できるとし, 任意の微小区間$dx$での流体（平板間距離は$h(x)$とする）に対して, (1)で求めた流量$Q$が成り立つとする. また, $x=0,x=L$にて圧力$p=p_0$とする. このとき, 以下の問いに答えよ.
(a) $dp/dx$を$U,Q,\mu ,h(x)$を用いて示せ.
(b) $h(x)$を$H,\theta ,x$を用いて示せ.
(c) $Q$を$U,H$を用いて示せ.
(d) $0<x<L$における圧力分布を求め, その概略図を示せ. また, 圧力の最大値とその位置を求めよ.

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解答：

(1)
方程式 $\frac{d^{2}u}{d{y}^2}=\frac{1}{\mu }\frac{dp}{dx}$ を積分して、

$$u(y)=\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}{y}^2+C_{1}y+C_2$$

境界条件 $u(0)=U,u(h)=0$ より、

$$\begin{array}{rl}{C}_2& =U{C}_1\\ & =-\frac{U}{h}-\frac{h}{2\mu }\frac{dp}{dx}\end{array}$$

よって速度分布は：

$$u(y)=U\left(1-\frac{y}{h}\right)+\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}(y^2-hy)$$

流量 $Q$ は：

$$\begin{array}{rl}Q& ={\int }_0^{h}u(y)dy\\ & ={\left[U\left(y-\frac{y^2}{2h}\right)+\frac{1}{2\mu }\frac{dp}{dx}\left(\frac{y^3}{3}-\frac{h{y}^2}{2}\right)\right]}_0^h\end{array}$$ $$\boxed{Q=\frac{Uh}{2}-\frac{h^3}{12\mu }\frac{dp}{dx}}$$

下板面のせん断応力 ${\tau }_w$ は：

$$\begin{array}{rl}{\tau }_w& =\mu {\frac{du}{dy}|}_{y=0}\\ & =\mu \left(-\frac{U}{h}-\frac{h}{2\mu }\frac{dp}{dx}\right)\end{array}$$ $$\boxed{{\tau }_w=-\frac{\mu U}{h}-\frac{h}{2}\frac{dp}{dx}}$$

(2)
(a) (1)で求めた $Q$ の式を変形して、

$$\frac{h(x{)}^3}{12\mu }\frac{dp}{dx}=\frac{Uh(x)}{2}-Q$$ $$\boxed{\frac{dp}{dx}=\frac{6\mu U}{h(x{)}^2}-\frac{12\mu Q}{h(x{)}^3}}$$

(b) 図の幾何学的関係と $\theta$ が微小であること ($\tan \theta \approx \theta$) より、

$$\boxed{h(x)=2H-\theta x}$$

(c) $dp=\left(\frac{6\mu U}{h(x{)}^2}-\frac{12\mu Q}{h(x{)}^3}\right)dx$ において $h=2H-\theta x$ より $dx=-\frac{dh}{\theta }$。
$x=0$ で $h=2H$、$x=L$ で $h=H$。境界条件 $p(0)=p_0,p(L)=p_0$ より、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{p_0}^{p_0}dp& ={\int }_0^L\frac{dp}{dx}dx\\ & ={\int }_{2H}^H\left(\frac{6\mu U}{h^2}-\frac{12\mu Q}{h^3}\right)\left(-\frac{1}{\theta }\right)dh\\ & =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\left[-\frac{6\mu U}{h}+\frac{6\mu Q}{h^2}\right]}_{2H}^H& =\left(-\frac{6\mu U}{H}+\frac{6\mu Q}{H^2}\right)-\left(-\frac{3\mu U}{H}+\frac{3\mu Q}{2H^2}\right)\\ & =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}-\frac{3\mu U}{H}+\frac{9\mu Q}{2H^2}& =0\\ ⟹\frac{9\mu Q}{2H^2}& =\frac{3\mu U}{H}\end{array}$$ $$\boxed{Q=\frac{2}{3}UH}$$

(d) (a)に(c)の結果を代入して、

$$\frac{dp}{dx}=\frac{6\mu U}{h(x{)}^2}-\frac{8\mu UH}{h(x{)}^3}$$

圧力分布 $p(x)$ は $x$ まで積分して求める：

$$p(x)-p_0={\int }_{2H}^{h(x)}\left(\frac{6\mu U}{h^2}-\frac{8\mu UH}{h^3}\right)\left(-\frac{1}{\theta }\right)dh$$ $$=-\frac{1}{\theta }{\left[-\frac{6\mu U}{h}+\frac{4\mu UH}{h^2}\right]}_{2H}^{h(x)}$$ $$\begin{array}{rl}& =\frac{2\mu U}{\theta h(x{)}^{2}H}\left(3Hh(x)-2H^2-h(x{)}^2\right)\\ & =\frac{2\mu U}{\theta h(x{)}^{2}H}(2H-h(x))(h(x)-H)\end{array}$$

$h(x)=2H-\theta x$ を代入し、

$$\boxed{p(x)=p_0+\frac{2\mu Ux(H-\theta x)}{H(2H-\theta x{)}^2}}$$

概略図は上に凸の曲線となり、$x=0$ と $x=L$ で $p_0$ をとる(図省略)。

圧力が最大となるのは $\frac{dp}{dx}=0$ のときであるから、

$$\begin{array}{rl}\frac{6\mu U}{h^2}-\frac{8\mu UH}{h^3}& =0\\ ⟹h(x)& =\frac{4}{3}H\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}2H-\theta x& =\frac{4}{3}H\\ ⟹\theta x& =\frac{2}{3}H\end{array}$$

位置：$\boxed{x=\frac{2H}{3\theta }}$ （または $x=\frac{2}{3}L$）
最大値は $p(x)$ に代入して、

$$\boxed{p_{max}=p_0+\frac{\mu U}{4\theta H}}$$

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本题考查了流体力学中基于纳维-斯托克斯方程的润滑理论（雷诺方程）的推导与应用。第一问首先对简化的N-S方程进行二次积分，代入上下极板的速度边界条件求出泊肃叶-库埃特流动（Poiseuille-Couette flow）的速度分布，进而通过对速度在厚度方向上的积分求出单宽流量，并利用牛顿内摩擦定律求出下极板处的壁面剪应力。第二问将平板间隙视为沿流动方向线性缓慢变化的收敛楔形流道。利用连续性假设即各截面流量相等，建立压力梯度与流道间隙的常微分方程。利用流道首尾两端压力相等的边界条件，将积分变量由流向坐标代换为间隙厚度，对整个流道进行积分即可确定未知的流量常数。最后，对压力梯度进行变上限积分得出压力分布的解析表达式，令压力梯度为零即可求出最大压力的发生位置及其峰值。在楔形间隙内，流体动压分布呈现两端低、中间高的上凸曲线特征，从而产生承载能力，这也是滑动轴承流体动力润滑的基本原理。