0078-2019 横国工 机械 P6

力学 机械力学 刚体动力学 冲量与动量

2つの円柱A(半径: $a$, 長さ: $\ell$, 質量: $m_A$)と円柱B(半径: $b$, 長さ: $\ell$, 質量: $m_B$)がある。重力加速度は$g$とする。以下の問いに答えよ。
(1) 図1に示すように、2つの円柱を床に対して垂直な2枚の平行な壁の間に入れたとき、2つの円柱の中心を結ぶ線が鉛直と$\theta$の角度をなして釣り合った。いずれの部分にも摩擦が働かないとして、円柱Bに作用する床からの反力$R_f$と、壁からの反力$R_w$を求めよ。
(2) 円柱Aについて、図2に示す3つの軸(z軸、z’軸およびx軸)に関する慣性モーメント$I_z,I_{z^{\prime }},I_x$をそれぞれ求めよ。ただし、点Oは円柱の重心であり、z’軸はz軸に平行で、z軸との距離が$a$の直線である。
(3) 円柱Aを水平な床(動摩擦係数: $\mu$)の上に置き、xy面上で床から高さ$h$の点に力積$S$の撃力をy軸に平行に与えた(図3)。このとき、円柱Aが滑らずに転がる場合に$h$と$a$が満たす関係式を求めよ。
(4) (3)において、$h=(8/5)a$のとき、円柱Aが滑らずに転がるようになるまでにかかる時間を求めよ。

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解答：

(1)
円柱AとBを合わせた系について、鉛直方向の力のつり合いより：

$$\begin{array}{rl}{R}_f-(m_A+m_B)g& =0\\ ⟹R_f& =(m_A+m_B)g\end{array}$$

円柱Aについて、円柱Bから受ける垂直抗力を $N$ とすると、鉛直方向の力のつり合いより：

$$\begin{array}{rl}N\cos \theta -m_{A}g& =0\\ ⟹N& =\frac{m_{A}g}{\cos \theta }\end{array}$$

円柱Bについて、水平方向の力のつり合いより：

$$\begin{array}{rl}{R}_w-N\sin \theta & =0\\ ⟹R_w& =N\sin \theta =m_{A}g\tan \theta \end{array}$$ $$\boxed{R_f=(m_A+m_B)g,R_w=m_{A}g\tan \theta }$$

(2)
円柱の重心を通る中心軸周りの慣性モーメントの公式より：

$$\boxed{I_z=\frac{1}{2}{m}_A{a}^2}$$

平行軸の定理より：

$$\boxed{I_{z^{\prime }}=I_z+m_A{a}^2=\frac{3}{2}{m}_A{a}^2}$$

重心を通る横軸（x軸）周りの慣性モーメントの公式より：

$$\boxed{I_x=m_A\left(\frac{a^2}{4}+\frac{{\ell }^2}{12}\right)}$$

(3)
力積 $S$ を与えた直後の円柱Aの重心の並進速度を $v_0$、角速度を ${\omega }_0$ とすると、並進および回転の力積と運動量の関係より：

$$\begin{array}{rl}{m}_A{v}_0& =S\\ ⟹v_0& =\frac{S}{m_A}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{I}_z{\omega }_0& =S(h-a)\\ ⟹\frac{1}{2}{m}_A{a}^2{\omega }_0& =S(h-a)\\ ⟹{\omega }_0& =\frac{2S(h-a)}{m_A{a}^2}\end{array}$$

撃力を受けた直後から滑らずに転がるための条件は $v_0=a{\omega }_0$ であるから：

$$\begin{array}{rl}\frac{S}{m_A}& =a\frac{2S(h-a)}{m_A{a}^2}\\ ⟹1& =\frac{2(h-a)}{a}\\ ⟹a& =2h-2a\end{array}$$ $$\boxed{h=\frac{3}{2}a}$$

(4)
$h=\frac{8}{5}a$ のとき、初期角速度は ${\omega }_0=\frac{2S(\frac{8}{5}a-a)}{m_A{a}^2}=\frac{6S}{5m_{A}a}$
接地点の初期速度は $v_{contact}=v_0-a{\omega }_0=\frac{S}{m_A}-\frac{6S}{5m_A}=-\frac{S}{5m_A}<0$
接地点が負の方向（左側）に滑るため、動摩擦力 $\mu m_{A}g$ は正の方向（右側）に働く。
時間 $t$ における重心の速度 $v(t)$ と角速度 $\omega (t)$ を運動方程式より求める：

$$\begin{array}{rl}{m}_{A}v(t)& =m_A{v}_0+\mu m_{A}gt\\ ⟹v(t)& =\frac{S}{m_A}+\mu gt\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{I}_z\omega (t)& =I_z{\omega }_0-\mu m_{A}gat\\ ⟹\omega (t)& =\frac{6S}{5m_{A}a}-\frac{2\mu g}{a}t\end{array}$$

滑らずに転がるようになる条件は $v(t)=a\omega (t)$ であるから：

$$\begin{array}{rl}\frac{S}{m_A}+\mu gt& =\frac{6S}{5m_A}-2\mu gt\\ ⟹3\mu gt& =\frac{S}{5m_A}\end{array}$$ $$\boxed{t=\frac{S}{15\mu m_{A}g}}$$

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本题考查了刚体力学中静力学平衡、转动惯量计算以及冲量与动量定理的综合应用。第一问是简单的受力平衡问题，通过把两个圆柱体当作一个整体，可以快速求出地面的支持力，再单独隔离上方圆柱体求出两圆柱间的正压力，进而求得侧面墙壁的支反力。第二问考查圆柱体各个特征轴的转动惯量，直接使用基本公式以及平行轴定理即可得出。第三问涉及冲量与动量的关系，击打圆柱体会同时产生平动的线动量和绕质心转动的角动量，初始纯滚动的条件是平动速度与边缘线速度相等，由此可以解出击打高度（即打击中心）。第四问中，由于击打高度大于纯滚动高度，初始状态下转动线速度大于平动线速度，接触点存在向后的相对滑动，因此地板对圆柱体的摩擦力方向向前。通过建立包含摩擦力作用的平动加速和转动减速的运动学方程，当两者的速度变化再次满足纯滚动条件时，即可求出从滑动过渡到纯滚动所需的具体时间。