0077-2019 横国工 机械 P4

材料力学 超静定梁 挠度计算

(1) 図1に示す単純支持はり ABC に等分布荷重 $q$ が加わったとき、点 B に生じるたわみを求めよ。ただし、はりの曲げ剛性を $EI$ とする。
(2) 図2に示す3点支持されたはり ABC に、等分布荷重 $q$ が加わったとき、それぞれの支持点における支持反力を求めよ。ただし、はりの曲げ剛性を $EI$ とする。

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解答：

(1)
支持反力を $R_A,R_C$（上向き正）とする。点C回りのモーメントのつり合いより $R_A\cdot 2\ell -q\ell \cdot \frac{3}{2}\ell =0⟹R_A=\frac{3}{4}q\ell$。
マコーレーの括弧を用い、点Aを原点とする曲げモーメント $M(x)$ を記述する。

$$\begin{array}{rl}M(x)& =\frac{3}{4}q\ell x-\frac{q}{2}{x}^2+\frac{q}{2}⟨x-\ell {⟩}^2(0\\ & \le x\\ & \le 2\ell )\end{array}$$

基礎方程式 $EI{v}^{\prime \prime }=-M(x)$ を積分して、

$$EIv(x)=-\frac{1}{8}q\ell x^3+\frac{q}{24}{x}^4-\frac{q}{24}⟨x-\ell {⟩}^4+C_{1}x+C_2$$

境界条件 $v(0)=0,v(2\ell )=0$ より $C_2=0$、$C_1=\frac{3}{16}q{\ell }^3$ を得る。
点B ($x=\ell$) におけるたわみ $v_B$ は：

$$\begin{array}{rl}{v}_B& =\frac{1}{EI}\left(-\frac{1}{8}q{\ell }^4+\frac{1}{24}q{\ell }^4+\frac{3}{16}q{\ell }^4\right)\\ & =\frac{5q{\ell }^4}{48EI}\end{array}$$ $$\boxed{v_B=\frac{5q{\ell }^4}{48EI}}$$

(2)
点Bの支持反力を $R_B$（上向き）とする。この系は一次不静定であるため、重ね合わせの理を用いる。点Bのたわみが0になる変形適合条件式を立てる。

$$\begin{array}{rl}{v}_B-\frac{R_B(2\ell {)}^3}{48EI}& =0\\ ⟹\frac{5q{\ell }^4}{48EI}-\frac{8R_B{\ell }^3}{48EI}& =0\\ ⟹R_B& =\frac{5}{8}q\ell \end{array}$$

鉛直方向の力のつり合い、および点A回りのモーメントのつり合いより：

$$R_A+R_C+\frac{5}{8}q\ell =q\ell$$ $$\begin{array}{rl}{R}_B\cdot \ell +R_C\cdot 2\ell -q\ell \cdot \frac{\ell }{2}& =0\\ ⟹\frac{5}{8}q{\ell }^2+2\ell R_C-\frac{1}{2}q{\ell }^2& =0\\ ⟹R_C& =-\frac{1}{16}q\ell \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{R}_A& =q\ell -\frac{5}{8}q\ell -\left(-\frac{1}{16}q\ell \right)\\ & =\frac{7}{16}q\ell \end{array}$$ $$\boxed{R_A=\frac{7}{16}q\ell ,R_B=\frac{5}{8}q\ell ,R_C=-\frac{1}{16}q\ell (\text{上向きを正とする})}$$

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本题主要考察了材料力学中简支梁的挠度计算方法以及一次超静定梁的求解技巧。第一问中，处理非全长均布载荷最简便的方法是引入奇异函数（麦考利括号）写出全段统一的弯矩方程，对其进行两次积分并代入两端挠度为零的边界条件求出积分常数，即可直接计算出中点位置的挠度。当然此问也可以通过对称性与叠加原理更快速地得出答案。第二问考察力法求解超静定梁，选取中间支座作为多余约束，利用第一问已经求得的该点挠度，叠加施加向上支反力产生的反向挠度，根据该点总挠度为零的变形协调条件解出中间支反力。最后回归静力学平衡方程，列出竖向力平衡和力矩平衡式即可顺利解出剩余两个支座的反力，反力结果为负则代表实际受力方向向下。