0076-2019 横国工 机械 P3

力学 热力学 工程热力学 理想气体 循环分析

ディーゼルサイクルについて考える。ここで、作動流体は理想気体（その比熱は温度に依らず一定）とし、サイクルの各状態における状態量を下付き数字で表すものとする（例えば、状態1における絶対温度、圧力、体積、エントロピーをそれぞれ$T_1$、$P_1$、$V_1$、$S_1$と表す）。

(i) ディーゼルサイクルは、断熱圧縮（状態1→2）、等圧燃焼（状態2→3）、断熱膨張（状態3→4）、等容冷却（状態4→1）の四つの行程で構成される。このサイクルをPV線図およびTS線図に描きなさい。図中に状態1～4を明記すること。
(ii) 理論熱効率${\eta }_{th}$を$T_1$、$T_2$、$T_3$、$T_4$および作動流体の比熱比$\kappa$を用いて表しなさい。
(iii) 三つの温度比$T_2/T_1$、$T_3/T_2$、$T_4/T_3$を、それぞれ$\kappa$、圧縮比$\epsilon (=V_1/V_2)$、締切比$\rho (=V_3/V_2)$のみを用いて表しなさい。
(iv) (iii)の結果を利用して、${\eta }_{th}$を$\kappa$、$\epsilon$、$\rho$のみを用いて表しなさい。
(v) 圧縮比が等しい場合、ディーゼルサイクルの理論熱効率とオットーサイクルの熱効率とどちらが良いか、理由とともに示しなさい。ここで、オットーサイクルは断熱圧縮、等容燃焼、断熱膨張、等容冷却の行程で構成される。

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解答：

(i)

PV線図：$1\stackrel{P{V}^{\kappa }=C}{\to }2\stackrel{P=C}{\to }3\stackrel{P{V}^{\kappa }=C}{\to }4\stackrel{V=C}{\to }1$
TS線図：$1\stackrel{S=C}{\to }2\stackrel{P=C}{\to }3\stackrel{S=C}{\to }4\stackrel{V=C}{\to }1$

(ii)
加熱量 $q_{in}=c_p(T_3-T_2)$
放熱量 $q_{out}=c_v(T_4-T_1)$

$$\begin{array}{rl}{\eta }_{th}& =1-\frac{q_{out}}{q_{in}}\\ & =1-\frac{c_v(T_4-T_1)}{c_p(T_3-T_2)}\end{array}$$ $$\kappa =\frac{c_p}{c_v}$$ $$\boxed{{\eta }_{th}=1-\frac{T_4-T_1}{\kappa (T_3-T_2)}}$$

(iii)
$1\to 2$ (断熱): $T_1{V}_1^{\kappa -1}=T_2{V}_2^{\kappa -1}⟹\boxed{\frac{T_2}{T_1}={\epsilon }^{\kappa -1}}$
$2\to 3$ (等圧): $\frac{V_2}{T_2}=\frac{V_3}{T_3}⟹\boxed{\frac{T_3}{T_2}=\rho }$
$3\to 4$ (断熱): $T_3{V}_3^{\kappa -1}=T_4{V}_4^{\kappa -1}(V_4=V_1)$

$$\begin{array}{rlrlr}\frac{T_4}{T_3}& ={\left(\frac{V_3}{V_1}\right)}^{\kappa -1}={\left(\frac{V_3/V_2}{V_1/V_2}\right)}^{\kappa -1}& & & \\ ⟹\boxed{\frac{T_4}{T_3}={\left(\frac{\rho }{\epsilon }\right)}^{\kappa -1}}& & & & \end{array}$$

(iv)

$$\begin{array}{rl}\frac{T_4}{T_1}& =\frac{T_4}{T_3}\frac{T_3}{T_2}\frac{T_2}{T_1}\\ & ={\left(\frac{\rho }{\epsilon }\right)}^{\kappa -1}\cdot \rho \cdot {\epsilon }^{\kappa -1}\\ & ={\rho }^{\kappa }\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\eta }_{th}& =1-\frac{T_1}{\kappa T_2}\frac{(T_4/T_1-1)}{(T_3/T_2-1)}\\ & =1-\frac{1}{\kappa {\epsilon }^{\kappa -1}}\frac{{\rho }^{\kappa }-1}{\rho -1}\end{array}$$ $$\boxed{{\eta }_{th}=1-\frac{1}{{\epsilon }^{\kappa -1}}\frac{{\rho }^{\kappa }-1}{\kappa (\rho -1)}}$$

(v)
オットーサイクルの熱効率 ${\eta }_{otto}=1-\frac{1}{{\epsilon }^{\kappa -1}}$
$f(\rho )={\rho }^{\kappa }-1-\kappa (\rho -1)$ とおくと、$f^{\prime }(\rho )=\kappa ({\rho }^{\kappa -1}-1)$。
$\rho >1,\kappa >1$ のとき $f^{\prime }(\rho )>0$、$f(1)=0$ より $f(\rho )>0$。
よって $\frac{{\rho }^{\kappa }-1}{\kappa (\rho -1)}>1$ となり、${\eta }_{th}<{\eta }_{otto}$。
理由：同一圧縮比において、上記の式の比較からディーゼルサイクルの引く項が大きくなるため。

$$\boxed{\text{オットーサイクルの方が良い}}$$

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狄塞尔循环的计算主要围绕四个热力学过程的特征方程展开。第一步通过定压吸热和定容放热的过程计算出吸放热量，结合比热比的定义直接写出用温度表示的理论热效率。然后利用理想气体状态方程和绝热过程的泊松方程，将各个状态点之间的温度比值转化为体积比的函数，即仅用压缩比和截止比表示。将其代入前面的热效率公式即可消去所有的温度变量。在与奥托循环对比时，写出奥托循环仅与压缩比相关的热效率公式，通过构造函数并求导的方式，证明在截止比大于一且绝热指数大于一的情况下，狄塞尔循环效率表达式后面减去的系数项必然大于一，由此从数学上严谨地证明了相同压缩比下奥托循环的效率更高。