0075-2019 横国工 数学 P2

线性代数 矩阵的n次方 特征值与特征向量

以下の行列 $B$ を定義する。

$$B=\left(\begin{array}{cc}3& 1\\ -4& -2\end{array}\right)$$

$B^n(n=1,2,3,\cdots )$ を求めよ。

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解答：

$$\begin{array}{rl}|B-\lambda I|& =\left|\begin{array}{ccc}3-\lambda & 1-4& -2-\lambda \end{array}\right|\\ & ={\lambda }^2-\lambda -2\\ & =(\lambda -2)(\lambda +1)\\ & =0\end{array}$$ $${\lambda }_1=2{\lambda }_2=-1$$ $$\begin{array}{rl}{\lambda }_1& =2\\ ⟹(B-2I)\mathbf{x}& =0\\ ⟹\left(\begin{array}{ccc}1& 1-4& -4\end{array}\right)\mathbf{x}& =0\\ ⟹{\mathbf{p}}_1& =\left(\begin{array}{c}1-1\end{array}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\lambda }_2& =-1\\ ⟹(B+I)\mathbf{x}& =0\\ ⟹\left(\begin{array}{ccc}4& 1-4& -1\end{array}\right)\mathbf{x}& =0\\ ⟹{\mathbf{p}}_2& =\left(\begin{array}{c}1-4\end{array}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}P& =({\mathbf{p}}_1{\mathbf{p}}_2)\\ & =\left(\begin{array}{ccc}1& 1-1& -4\end{array}\right)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{P}^{-1}& =-\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}-4& -11& 1\end{array}\right)\\ & =\frac{1}{3}\left(\begin{array}{ccc}4& 1-1& -1\end{array}\right)\end{array}$$ $$P^{-1}BP=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -1\end{array}\right)$$ $$B^n=P\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& (-1{)}^n\end{array}\right)P^{-1}$$ $$B^n=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ -1& -4\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{2}^n& 0\\ 0& (-1{)}^n\end{array}\right)\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$$ $$B^n=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}{2}^n& (-1{)}^n\\ -2^n& -4(-1{)}^n\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}4& 1\\ -1& -1\end{array}\right)$$ $$\boxed{B^n=\frac{1}{3}\left(\begin{array}{cc}4\cdot 2^n-(-1{)}^n& 2^n-(-1{)}^n\\ -4\cdot 2^n+4(-1{)}^n& -2^n+4(-1{)}^n\end{array}\right)}$$

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求解矩阵的高次幂通常使用矩阵对角化的方法。首先通过特征方程求出行列式的值等于零时的解，从而得到矩阵的特征值。接着将特征值分别代入，求出对应的基础解系，以此作为特征向量。将特征向量按列拼凑成一个可逆的变换矩阵，并利用伴随矩阵或初等行变换求出它的逆矩阵。根据相似对角化的性质，原矩阵可以分解为变换矩阵、对角矩阵与变换矩阵逆矩阵的乘积形式。因为对角矩阵的n次方只需将主对角线上的各个元素直接作n次方，所以最后只需要将这三个矩阵依次相乘展开，化简后即可得到原矩阵n次方的表达式。