0074-2019 横国工 数学 P2

常微分方程 高等数学

$y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+3y=e^{2x}$ の一般解を求めよ。

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解答：

$$\begin{array}{rl}{y}^{\prime \prime }+4y^{\prime }+3y& =0\\ ⟹{\lambda }^2+4\lambda +3& =0\\ ⟹{\lambda }_1& =-1{\lambda }_2=-3\end{array}$$ $$y_p=A{e}^{2x}$$ $$\begin{array}{rl}{y}_p^{\prime \prime }+4y_p^{\prime }+3y_p& =4A{e}^{2x}+8A{e}^{2x}+3A{e}^{2x}=15A{e}^{2x}=e^{2x}\\ ⟹A& =\frac{1}{15}\end{array}$$ $$\boxed{y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-3x}+\frac{1}{15}{e}^{2x}(C_1,C_2\text{ は任意定数})}$$

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求解二阶常系数非齐次线性微分方程通常分为两步。首先求解对应的齐次方程，通过写出特征方程并求根，得到两个不相等的实数根，从而写出包含两个任意常数的齐次通解。其次利用待定系数法寻找特解，因为方程右侧为指数函数形式且其指数部分的常数不属于特征根，所以可以直接设特解为带有未知系数的同底指数函数。将特解分别求一阶导和二阶导并代回原微分方程，即可利用等式两边系数相等解出该未知常数。最后将齐次通解和非齐次特解相加，即可得到原微分方程的通解形式。