0070-2003 东大工 机械 P76

力学 工程热力学 斯特林循环

スターリング・エンジンの基本サイクルであるスターリング・サイクルは，高温熱源（温度$T_H$）と低温熱源（温度$T_C$）とを用いて，等温圧縮(1→2)，等積加熱(2→3)，等温膨張(3→4)，等積冷却(4→1)の4行程を繰り返すサイクルであり，等積冷却行程における熱量を等積加熱に再生利用する．以下の問題に答えよ．

(1) $p$-$V$線図と$T$-$s$線図上にサイクルを図示せよ．また，各行程における熱と仕事の授受を図中に書き入れて，サイクルの特色を100字程度で説明せよ．

(2) 質量$M$の理想気体を作動気体とした場合について，それぞれの行程における熱と仕事の授受を計算せよ．また，これらを用いて，このサイクルの理論熱効率を計算せよ．ただし，気体定数$R$，定圧比熱$C_p$，下死点でのシリンダー容積$V_1$，上死点でのシリンダー容積$V_2$とする．

(3) 再生効率$\eta$が100%でないとして，等積加熱に必要な熱の一部を高温熱源から供給した場合の仮想スターリング・エンジンの熱効率について，有効エネルギーの観点から考察せよ．

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解答：

(1)

状態変化の経路：
1($V_1,T_C$) $\stackrel{\text{等温}}{\to }$ 2($V_2,T_C$) $\stackrel{\text{等積}}{\to }$ 3($V_2,T_H$) $\stackrel{\text{等温}}{\to }$ 4($V_1,T_H$) $\stackrel{\text{等積}}{\to }$ 1($V_1,T_C$)
授受（$W$は系がする仕事、$Q$は系が得る熱）：
1→2: $Q_{out},W_{in}$
2→3: $Q_{regen,in}$
3→4: $Q_{in},W_{out}$
4→1: $Q_{regen,out}$

特色：
等積冷却で放出する熱を等積加熱に完全再生するため、外界との熱授受は等温過程のみとなる。これにより可逆サイクルとなり、カルノーサイクルと等しい最高熱効率を実現する。（82字）

(2)
マイヤーの式 $C_v=C_p-R$ を用いる。
1→2 (等温圧縮):

$$\boxed{W_{12}=Q_{12}=MR{T}_C\ln \left(\frac{V_2}{V_1}\right)}$$

2→3 (等積加熱):

$$\boxed{W_{23}=0,Q_{23}=M(C_p-R)(T_H-T_C)}$$

3→4 (等温膨張):

$$\boxed{W_{34}=Q_{34}=MR{T}_H\ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)}$$

4→1 (等積冷却):

$$\boxed{W_{41}=0,Q_{41}=M(C_p-R)(T_C-T_H)}$$

理論熱効率 ${\eta }_{th}$:
再生サイクルであるため外部からの受熱量は $Q_{in}=Q_{34}$ のみ。
正味仕事 $W_{net}=W_{12}+W_{34}$。

$$\boxed{{\eta }_{th}=\frac{W_{net}}{Q_{in}}=\frac{MR{T}_H\ln (V_1/V_2)+MR{T}_C\ln (V_2/V_1)}{MR{T}_H\ln (V_1/V_2)}=1-\frac{T_C}{T_H}}$$

(3)
等積加熱過程において高温熱源から熱供給を受けると、有限温度差による熱移動が生じ不可逆過程となる。 これに伴うエントロピー生成により有効エネルギー（エクセルギー）の破壊が起こるため、熱効率は低下する。

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这道题考察的是斯特林循环的热力学分析与计算。斯特林循环由两个等温过程和两个等容（等体）过程构成。它的最大特点在于包含了一个理想的蓄热器（再生器），使得等容冷却过程中放出的热量能够被完全储存并用于随后的等容加热过程。由于这一理想的内部热交换机制，系统仅在两个等温过程中与外界的高温和低温热源发生热量交换，因此其理论热效率达到了对应温度区间内的极限，即等于卡诺循环的热效率。

在进行各过程功与热的计算时，需要利用理想状态方程和热力学第一定律。题目给出了恒压比热容，根据迈耶公式可以推导出恒容比热容等于恒压比热容减去气体常数，这在计算等容过程的吸放热时是必需的。计算功时，对压强沿体积积分即可得到对数形式的表达式。对于第三问的有效能（即做功能力或㶲）分析，当蓄热器效率不足100%时，等容加热段需要外部高温热源额外补热。由于热源温度恒定而气体温度是逐渐升高的，这就导致了存在有限温差的传热。这种传热过程在热力学上是不可逆的，会引发孤立系统的熵增，进而造成系统有效能的损失，宏观上的直接体现就是实际的循环热效率相比于理想状态发生了下降。