0069-2003 东大工 机械 P75

材料力学 扭转

上図のように、軸長が$L$で、軸心が一致した丸棒と円筒からなる構造を考える。左端は剛体壁に固定されており、右端は剛体板に固定されている。丸棒の半径$r_1$、せん断弾性係数$G_1$、円筒の外半径$r_2$、板厚$t$、せん断弾性係数$G_2$とし、右端にトルク$T$を作用するとき、次の問に答えよ。なお、記号において添字$1$は丸棒を、添字$2$は円筒を示す。

（１）$I_{p1}$、$I_{p2}$を各々丸棒と円筒の極二次モーメントとするとき、$I_{p1}$、$I_{p2}$を定義に基づいて$r_1,r_2,t$で表せ。なお、設問（２）以降の問題には$I_{p1}$、$I_{p2}$を用いて解答してよい。
（２）棒と円筒に発生するトルクを各々$T_1$、$T_2$とするとき、$T$と$T_1$、$T_2$の間に成立する釣り合い式を示せ。
（３）丸棒に生ずるねじり角${\varphi }_1$と$T_1$との関係は下式で与えられる。

$${\varphi }_1=\frac{T_{1}L}{G_1{I}_{p1}}$$

このことを参考にして円筒に生ずるねじり角${\varphi }_2$を$T_2$と$I_{p2}$を用いて表現せよ。
（４）丸棒の表面のせん断ひずみ${\gamma }_1$と${\varphi }_1$の間には次式の関係がある。

$${\gamma }_1=\frac{{\varphi }_1}{L}{r}_1$$

このことを参考にして、丸棒に発生する最大せん断応力${\tau }_1$を$T_1$を用いて表現せよ。また、円筒に発生する最大せん断応力${\tau }_2$を$T_2$を用いて表現せよ。
（５）$T_1$、$T_2$を求めよ。

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解答：

（１）

$$\begin{array}{rl}{I}_{p1}& ={\int }_0^{r_1}2\pi r^{3}dr\\ & =\boxed{\frac{\pi r_1^4}{2}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{I}_{p2}& ={\int }_{r_2-t}^{r_2}2\pi r^{3}dr\\ & =\boxed{\frac{\pi }{2}\{r_2^4-(r_2-t{)}^4\}}\end{array}$$

（２）

$$\boxed{T=T_1+T_2}$$

（３）

$$\boxed{{\varphi }_2=\frac{T_{2}L}{G_2{I}_{p2}}}$$

（４）

$$\begin{array}{rl}{\tau }_1& =G_1{\gamma }_1\\ & =G_1\left(\frac{{\varphi }_1}{L}{r}_1\right)\\ & =G_1\left(\frac{T_1}{G_1{I}_{p1}}\right)r_1\\ & =\boxed{\frac{T_1{r}_1}{I_{p1}}}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\tau }_2& =G_2{\gamma }_2\\ & =G_2\left(\frac{{\varphi }_2}{L}{r}_2\right)\\ & =\boxed{\frac{T_2{r}_2}{I_{p2}}}\end{array}$$

（５）
変形適合条件より：

$$\begin{array}{rl}{\varphi }_1& ={\varphi }_2\\ ⟹\frac{T_{1}L}{G_1{I}_{p1}}& =\frac{T_{2}L}{G_2{I}_{p2}}\end{array}$$

（２）の釣り合い式と連立して解くと：

$$\boxed{T_1=\frac{G_1{I}_{p1}}{G_1{I}_{p1}+G_2{I}_{p2}}T,T_2=\frac{G_2{I}_{p2}}{G_1{I}_{p1}+G_2{I}_{p2}}T}$$

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这道题考察的是组合轴的超静定扭转问题。因为内部的实心圆棒和外部的空心圆筒在两端都被刚性壁和刚性板固定，所以在受到外力扭矩时，两者发生的扭转变形角是完全相同的，这就是此类问题核心的变形协调条件。同时在静力学上系统处于平衡状态，所以圆棒和圆筒各自承担的内扭矩之和必须等于总的外力扭矩。在求解极惯性矩时，根据其微元面积分的定义，圆棒是积分下限为零的实心圆，而圆筒的积分下限则是外径减去壁厚即内径。计算最大剪应力时，直接运用剪切胡克定律将应力与应变联系起来，并代入已知扭转角的表达式消去未知量即可得出结果。最后联立变形协调方程与静力平衡方程，即可分别解出各部分所承担的扭矩。