0068-2003 东大工 数学 P73

概率统计 概率论 可靠性理论 指数分布

時間 $t=0$ より出発して、ある事象が時間 $t$ より前に起こらなかったという条件のもとで、時間間隔 $(t,t+dt)$ の間に起こる条件付確率を $h(t)dt$ とする。また、その事象が単に時間 $(t,t+dt)$ の間に起こる確率を $f(t)dt$ とする。

(1) $t$ 時間後に事象が起こっていない確率 $R(t)$ を求めよ。

(2) $h(t)$ を $f(t),R(t)$ の関数として導け。

(3) $f(t)$ を $h(t)$ の関数として導け。ただし $t=0$ での事象が起こる確率はゼロとする。

(4) $h(t)=a(\text{一定})$ の場合、事象が起こる平均時間と分散を求めよ。

(5) 事象が起こる平均時間が $t_0$ の時、事象が $t_1$ 以内には起こらず、$(t_1,t_2)$ の時間の間に起こる条件付確率 $P$ と、単に $(t_1,t_2)$ の時間の間に事象が起こる確率 $Q$ を求めよ。

ただし、$t_1=10\times t_0$、$t_2-t_1=0.1\times t_0$ とする。また必要に応じて、
$e^{-10}\cong 4\times 10^{-5},e^{-\frac{1}{10}}\cong 0.9$ を使え。

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解答：

(1)
事象が時間 $t$ までに起こる確率は ${\int }_0^{t}f(\tau )d\tau$ であるから、

$$\boxed{R(t)=1-{\int }_0^{t}f(\tau )d\tau }$$

(2)
条件付確率の定義より、

$$h(t)dt=\frac{f(t)dt}{R(t)}$$ $$\boxed{h(t)=\frac{f(t)}{R(t)}}$$

(3)
(1)より $R^{\prime }(t)=-f(t)$ である。これを(2)に代入して、

$$\begin{array}{rl}-R^{\prime }(t)& =h(t)R(t)\\ ⟹\frac{R^{\prime }(t)}{R(t)}& =-h(t)\end{array}$$

両辺を $0$ から $t$ まで積分すると、

$$\ln R(t)-\ln R(0)=-{\int }_0^{t}h(\tau )d\tau$$

$t=0$ で事象が起こる確率はゼロであるため $R(0)=1$、すなわち $\ln R(0)=0$。

$$R(t)=\exp \left(-{\int }_0^{t}h(\tau )d\tau \right)$$

$f(t)=h(t)R(t)$ に代入して、

$$\boxed{f(t)=h(t)\exp \left(-{\int }_0^{t}h(\tau )d\tau \right)}$$

(4)
$h(t)=a$ のとき、(3)より

$$\begin{array}{rl}f(t)& =a\exp \left(-{\int }_0^{t}ad\tau \right)\\ & =a{e}^{-at}\end{array}$$

事象が起こる平均時間 $E[T]$ は、
$E[T]={\int }_0^{\infty }ta{e}^{-at}dt=\boxed{\frac{1}{a}}$
分散 $V[T]$ は、

$$V[T]={\int }_0^{\infty }{t}^{2}a{e}^{-at}dt-(E[T]{)}^2=\frac{2}{a^2}-\frac{1}{a^2}=\boxed{\frac{1}{a^2}}$$

(5)
平均時間が $t_0$ であるため、(4)より $a=\frac{1}{t_0}$。

$$R(t)=e^{-t/t_0}$$

条件付確率 $P$ は、事象が $t_1$ まで起こらない条件のもとで $(t_1,t_2)$ に起こる確率であるから、

$$\begin{array}{rl}P& =\frac{R(t_1)-R(t_2)}{R(t_1)}\\ & =1-\frac{R(t_2)}{R(t_1)}\\ & =1-e^{-(t_2-t_1)/t_0}\end{array}$$

$t_2-t_1=0.1t_0$ より、

$$P=1-e^{-0.1}\cong 1-0.9=\boxed{0.1}$$

単に $(t_1,t_2)$ の間に起こる確率 $Q$ は、

$$\begin{array}{rl}Q& =R(t_1)-R(t_2)\\ & =e^{-t_1/t_0}\left(1-e^{-(t_2-t_1)/t_0}\right)\\ & =e^{-10}\times P\end{array}$$ $$Q\cong 4\times 10^{-5}\times 0.1=\boxed{4\times 10^{-6}}$$

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本题探讨了可靠性理论和生存分析中的基本概念，主要围绕概率密度函数、可靠度函数（或生存函数）以及失效率（或风险函数）之间的关系展开。第一问和第二问要求根据定义直接写出可靠度函数与条件概率的表达式。第三问通过建立微分方程，利用分离变量法推导出在已知失效率情况下的概率密度函数一般表达式。第四问考查了当失效率为常数时，对应的概率分布即为指数分布，并通过积分计算出其数学期望和方差。第五问结合具体的数值，利用指数分布的无记忆性计算条件概率与绝对概率，在计算条件概率时可以发现其仅与时间间隔有关，这是指数分布非常重要的一个特性。