0067-2003 东大工 数学 P72

复变函数 傅里叶级数 偏微分方程

$f(x)$ を領域 $-\pi <x\le \pi$ で定義される関数として、フーリエ級数は次のように定義される。

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{n=-\infty }^{\infty }{c}_n\exp (inx)c_n\\ & =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)\exp (-inx)dx\end{array}$$

(1) $f(x)=x(\pi -x)(0\le x\le \pi )$、$f(x)=-f(-x)(-\pi <x<0)$ をフーリエ級数に展開せよ。

(2) $\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n-1{)}^3}$ を計算せよ。

(3) 振動方程式 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(0\le x\le \pi )$ を境界条件 $u(0,t)=u(\pi ,t)=0$ および初期条件 $u(x,t=0)=x(\pi -x)$、$\frac{\partial }{\partial t}u(x,t=0)=0$ の下で考える。以下の手順により解け。

(3-1) 振動方程式 $\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial x^2}(0\le x\le \pi )$ を境界条件 $u(0,t)=u(\pi ,t)=0$ の下で変数分離により解き、固有関数を求めよ。

(3-2) 固有関数の重ねあわせにより、初期条件 $u(x,t=0)=x(\pi -x)$、$\frac{\partial }{\partial t}u(x,t=0)=0$ を満足する解を求めよ。

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解答：

(1)
$f(x)$ は奇関数であるから、$c_0=0$、$c_{-n}=-c_n$ となる。
$n\ne 0$ のとき、

$$\begin{array}{rl}{c}_n& =\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }f(x)(\cos nx-i\sin nx)dx\\ & =-\frac{i}{\pi }{\int }_0^{\pi }x(\pi -x)\sin nxdx\end{array}$$

部分積分を行う。

$${\int }_0^{\pi }x(\pi -x)\sin nxdx={\left[-x(\pi -x)\frac{\cos nx}{n}\right]}_0^{\pi }+{\int }_0^{\pi }(\pi -2x)\frac{\cos nx}{n}dx$$ $$\begin{array}{rl}& =0+{\left[(\pi -2x)\frac{\sin nx}{n^2}\right]}_0^{\pi }-{\int }_0^{\pi }(-2)\frac{\sin nx}{n^2}dx\\ & =\frac{2}{n^2}{\left[-\frac{\cos nx}{n}\right]}_0^{\pi }\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& =-\frac{2}{n^3}(\cos n\pi -1)\\ & =-\frac{2}{n^3}((-1{)}^n-1)\\ & =\{\begin{array}{llc}\frac{4}{n^3}& (n\text{が奇数})0& (n\text{が偶数})\end{array}\end{array}$$

したがって、$n$が奇数のとき $c_n=-i\frac{4}{\pi n^3}$。

$$\begin{array}{rl}f(x)& =\sum _{k=-\infty }^{\infty }{c}_{2k-1}{e}^{i(2k-1)x}\\ & =\sum _{k=1}^{\infty }\left(c_{2k-1}{e}^{i(2k-1)x}+c_{-(2k-1)}{e}^{-i(2k-1)x}\right)\end{array}$$ $$=\sum _{k=1}^{\infty }\left(-i\frac{4}{\pi (2k-1{)}^3}{e}^{i(2k-1)x}+i\frac{4}{\pi (2k-1{)}^3}{e}^{-i(2k-1)x}\right)$$ $$=\sum _{k=1}^{\infty }\frac{4}{\pi (2k-1{)}^3}\cdot \frac{e^{i(2k-1)x}-e^{-i(2k-1)x}}{i}$$ $$\boxed{f(x)=\frac{8}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (2k-1)x}{(2k-1{)}^3}}$$

(2)
(1)の展開式に $x=\frac{\pi }{2}$ を代入する。
$f\left(\frac{\pi }{2}\right)=\frac{\pi }{2}\left(\pi -\frac{\pi }{2}\right)=\frac{{\pi }^2}{4}$。

$$\begin{array}{rl}\frac{{\pi }^2}{4}& =\frac{8}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\sin (2k-1)\frac{\pi }{2}}{(2k-1{)}^3}\\ & =\frac{8}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k-1}}{(2k-1{)}^3}\end{array}$$

よって、

$$\boxed{\sum _{n=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{n-1}}{(2n-1{)}^3}=\frac{{\pi }^3}{32}}$$

(3-1)
$u(x,t)=X(x)T(t)$ とおいて偏微分方程式に代入する。

$$\begin{array}{rl}X(x)T^{\prime \prime }(t)& =X^{\prime \prime }(x)T(t)\\ ⟹\frac{T^{\prime \prime }(t)}{T(t)}& =\frac{X^{\prime \prime }(x)}{X(x)}=-{\lambda }^2(\lambda >0\text{と仮定})\end{array}$$

$X(x)$ についての常微分方程式は $X^{\prime \prime }(x)+{\lambda }^{2}X(x)=0$。
一般解は $X(x)=A\cos \lambda x+B\sin \lambda x$。
境界条件 $u(0,t)=0⟹X(0)=0⟹A=0$。
境界条件 $u(\pi ,t)=0⟹X(\pi )=0⟹B\sin \lambda \pi =0$。
自明な解を避けるため $B\ne 0$ とすると、$\sin \lambda \pi =0⟹\lambda =n(n=1,2,3,\cdots )$。
よって固有関数は $\boxed{X_n(x)=\sin nx(n=1,2,\cdots )}$。
$T(t)$ についての常微分方程式は $T^{\prime \prime }(t)+n^{2}T(t)=0$。
一般解は $T_n(t)=C_n\cos nt+D_n\sin nt$。

(3-2)
一般解は $u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }(C_n\cos nt+D_n\sin nt)\sin nx$。
初期条件 $\frac{\partial }{\partial t}u(x,0)=0$ より、

$$\begin{array}{rl}\sum _{n=1}^{\infty }n{D}_n\sin nx& =0\\ ⟹D_n& =0\end{array}$$

したがって、$u(x,t)=\sum _{n=1}^{\infty }{C}_n\cos nt\sin nx$。
初期条件 $u(x,0)=x(\pi -x)$ より、

$$\sum _{n=1}^{\infty }{C}_n\sin nx=x(\pi -x)$$

これは $x(\pi -x)$ のフーリエ正弦級数展開である。(1)より、

$$C_n=\{\begin{array}{ll}\frac{8}{\pi n^3}& (n\text{が奇数})\\ 0& (n\text{が偶数})\end{array}$$

よって求める解は、

$$\boxed{u(x,t)=\frac{8}{\pi }\sum _{k=1}^{\infty }\frac{\cos (2k-1)t\sin (2k-1)x}{(2k-1{)}^3}}$$

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这道题目考察了复数形式的傅里叶级数展开以及一维波动方程的求解。第一小题要求展开一个奇函数，由于是奇函数，其复傅里叶系数可以直接化简为只含有虚部的形式，最终通过欧拉公式可以轻松转换为实数形式的正弦级数。第二小题是傅里叶级数的一个常见应用，通过代入特定的自变量值（这里是 $\pi /2$），利用已经求得的级数收敛结果，可以得到一个特定的无穷级数求和公式的值。第三小题要求利用分离变量法求解一维齐次波动方程。首先设定解的形式为时间和空间函数的乘积，代入原方程后将其转化为两个常微分方程，再利用两端的齐次边界条件确定特征值和空间特征函数。最后利用叠加原理写出通解，并代入关于时间的两个初始条件，通过求解傅里叶系数确定最终的特解，这里的特解正好用到了第一小题的计算结果。