0065-2003 东大工 数学 P70

高等数学 向量分析 斯托克斯定理

閉曲線 C を境界とする曲面 S が与えられたとき、ベクトル場 $\mathbf{u}(x,y,z)$ に対して、

$${\iint }_S(\mathrm{rot}\mathbf{u})\cdot \mathbf{n}dS={\oint }_C\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}$$

が成立する。ただし、$\mathbf{n}$ は $dS$ の単位法線ベクトル、$d\mathbf{l}$ は曲線に沿う接線ベクトルである。

(1) $\mathrm{rot}\mathbf{u}=0$ の時、始点を P、終点を Q とする任意の開曲線 $C_1$ 上の線積分 ${\int }_{C_1}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}$ は $C_1$ によらず一定であることを示せ。

(2) 上記(1)の性質を利用して $\mathrm{rot}\mathbf{u}=0$ の時、$\mathrm{grad}\varphi =\mathbf{u}$ を満たすスカラー関数 $\varphi (x,y,z)$ が存在することを示せ。

(3)

$$\mathbf{u}=\left(\begin{array}{c}-\frac{x}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}\\ -\frac{y}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}\\ -\frac{z}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}\end{array}\right)$$

のとき、$\mathrm{grad}\varphi =\mathbf{u}$ を満たすスカラー関数 $\varphi (x,y,z)$ が存在すればそれを求め、存在しないときにはその理由を述べよ。

(4) 媒介変数 $t$ を用いて定義された開曲線 $C_2$

$$\begin{array}{rl}\left(\begin{array}{c}xyz\end{array}\right)& =\left(\begin{array}{c}t+1(1-t)t\sin (\pi t)(1-t)t\cos (\pi t)\end{array}\right),0\\ & \le t\\ & \le 1\end{array}$$

上で、上記(3)で定義したベクトル場 $\mathbf{u}$ に関する線積分 ${\int }_{C_2}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}$ を求めよ。

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解答：

(1)
始点P、終点Qを結ぶ任意の2つの経路を $C_a,C_b$ とする。
閉曲線 $C=C_a-C_b$ を考えると、ストークスの定理より、

$${\oint }_C\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}={\iint }_S(\mathrm{rot}\mathbf{u})\cdot \mathbf{n}dS$$

仮定より $\mathrm{rot}\mathbf{u}=0$ であるから、

$${\oint }_C\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}=0$$ $$\begin{array}{rl}{\int }_{C_a}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}-{\int }_{C_b}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}& =0\\ ⟹{\int }_{C_a}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}& ={\int }_{C_b}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}\end{array}$$

(証明終)

(2)
(1)より線積分は経路によらないため、固定された始点 $P_0(x_0,y_0,z_0)$ に対してスカラー関数 $\varphi$ を以下のように定義できる。

$$\varphi (x,y,z)={\int }_{P_0}^{(x,y,z)}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}$$

$\mathbf{u}=(u_x,u_y,u_z)$ とおき、点 $(x,y,z)$ から $x$ 軸に平行な直線に沿って $\Delta x$ だけ進む経路を考えると、

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \varphi }{\partial x}& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\varphi (x+\Delta x,y,z)-\varphi (x,y,z)}{\Delta x}\\ & =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta x}{\int }_{(x,y,z)}^{(x+\Delta x,y,z)}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& =\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta x}{\int }_x^{x+\Delta x}{u}_x(t,y,z)dt\\ & =u_x(x,y,z)\end{array}$$

同様にして $\frac{\partial \varphi }{\partial y}=u_y$、$\frac{\partial \varphi }{\partial z}=u_z$。
よって、$\mathrm{grad}\varphi =\mathbf{u}$ を満たす $\varphi$ が存在する。
(証明終)

(3)

$$\begin{array}{rl}d\varphi & =\mathbf{u}\cdot d\mathbf{r}\\ & =-\frac{xdx+ydy+zdz}{(x^2+y^2+z^2{)}^{3/2}}\end{array}$$

$r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$ とおくと、$r^2=x^2+y^2+z^2$ より $rdr=xdx+ydy+zdz$ である。

$$\begin{array}{rl}d\varphi & =-\frac{rdr}{r^3}\\ & =-\frac{1}{r^2}dr\\ & =d\left(\frac{1}{r}\right)\end{array}$$

両辺を積分して、

$$\boxed{\varphi (x,y,z)=\frac{1}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}+C(C\text{は任意定数})}$$

(4)
$t=0$ のとき、始点 $P(1,0,0)$。
$t=1$ のとき、終点 $Q(2,0,0)$。
(3)より $\mathbf{u}=\mathrm{grad}\varphi$ であるため、線積分は経路に依存せず、始点と終点の位置のみで決まる。

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_2}\mathbf{u}\cdot d\mathbf{l}& =\varphi (Q)-\varphi (P)\\ & =\frac{1}{\sqrt{2^2+0+0}}-\frac{1}{\sqrt{1^2+0+0}}\\ & =\frac{1}{2}-1\\ & =-\frac{1}{2}\end{array}$$ $$\boxed{-\frac{1}{2}}$$

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这道题目主要考察了向量分析中的斯托克斯定理以及保守向量场的性质。第一问利用斯托克斯定理，通过构造两条不同路径组成的闭合曲线，将曲面积分转化为线积分，从而证明了旋度为零的向量场其线积分与路径无关。第二问在此基础上，利用积分上限函数直接构造出标量势函数，并通过偏导数的定义证明了其梯度正是原向量场。第三问则是求具体向心向量场的势函数，采用换元法将坐标微分转化为极坐标半径微分解得势函数的表达式。最后一问考察了保守力场做功与路径无关的特性，由于势函数已知，完全不需要将复杂的参数曲线代入方程计算，直接计算终点和起点的势函数差值即可快速得到结果。