0064-2003 东大工 数学 P69

线性代数 矩阵高次幂 哈密顿凯莱定理

3 次の正方行列 $A$ が全て異なる固有値 ${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ をもつとする。 $A$ の固有方程式を $f(\lambda )=(\lambda -{\lambda }_1)(\lambda -{\lambda }_2)(\lambda -{\lambda }_3)$ としたとき、$f(A)=(A-{\lambda }_{1}E)(A-{\lambda }_{2}E)(A-{\lambda }_{3}E)$ とすれば、一般に $f(A)=O$ が成立する。ここで、$E$ は 3 次の単位行列である。

(1) $A^n=a{A}^2+bA+cE(n\ge 3)$ なる実数 $a,b,c$ が存在することを示せ。

(2) $a,b,c$ が満たすべき連立1次方程式を求めよ。

(3) $A^n$ を $A,E,n,{\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ を用いて表せ。

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解答：

(1)
多項式 $x^n$ を $f(x)=(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_2)(x-{\lambda }_3)$ で割ったときの商を $Q(x)$、余りを $R(x)$ とする。
$f(x)$ は3次式であるため、$R(x)$ は2次以下の多項式となり、$R(x)=a{x}^2+bx+c$ とおける。

$$x^n=Q(x)f(x)+a{x}^2+bx+c$$

上式に $x=A$ を代入し、$f(A)=O$ を用いると、

$$A^n=Q(A)f(A)+a{A}^2+bA+cE=a{A}^2+bA+cE$$

よって、条件を満たす実数 $a,b,c$ が存在する。(証明終)

(2)
(1)の恒等式 $x^n=Q(x)f(x)+a{x}^2+bx+c$ に $x={\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ をそれぞれ代入する。
$f({\lambda }_1)=f({\lambda }_2)=f({\lambda }_3)=0$ より、以下の連立1次方程式を得る。

$$\boxed{\{\begin{array}{l}{\lambda }_1^n=a{\lambda }_1^2+b{\lambda }_1+c\\ {\lambda }_2^n=a{\lambda }_2^2+b{\lambda }_2+c\\ {\lambda }_3^n=a{\lambda }_3^2+b{\lambda }_3+c\end{array}}$$

(3)
(2)の条件を満たす2次以下の多項式 $R(x)=a{x}^2+bx+c$ は、${\lambda }_1,{\lambda }_2,{\lambda }_3$ が全て異なるため、ラグランジュの補間公式により一意に定まり、次のように表される。

$$R(x)={\lambda }_1^n\frac{(x-{\lambda }_2)(x-{\lambda }_3)}{({\lambda }_1-{\lambda }_2)({\lambda }_1-{\lambda }_3)}+{\lambda }_2^n\frac{(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_3)}{({\lambda }_2-{\lambda }_1)({\lambda }_2-{\lambda }_3)}+{\lambda }_3^n\frac{(x-{\lambda }_1)(x-{\lambda }_2)}{({\lambda }_3-{\lambda }_1)({\lambda }_3-{\lambda }_2)}$$

(1)より $A^n=R(A)$ であるから、

$$\boxed{\begin{array}{rl}{A}^n& =\frac{{\lambda }_1^n}{({\lambda }_1-{\lambda }_2)({\lambda }_1-{\lambda }_3)}(A-{\lambda }_{2}E)(A-{\lambda }_{3}E)\\ & +\frac{{\lambda }_2^n}{({\lambda }_2-{\lambda }_1)({\lambda }_2-{\lambda }_3)}(A-{\lambda }_{1}E)(A-{\lambda }_{3}E)\\ & +\frac{{\lambda }_3^n}{({\lambda }_3-{\lambda }_1)({\lambda }_3-{\lambda }_2)}(A-{\lambda }_{1}E)(A-{\lambda }_{2}E)\end{array}}$$

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这道题主要考查了线性代数中的哈密顿-凯莱定理以及利用多项式理论求解矩阵高次幂的方法。第一问的核心在于利用多项式的带余除法，由于特征多项式是三次的，所以余式必然是二次以下的结构，将矩阵代入后高次部分就会因为哈密顿-凯莱定理而消去。第二问通过将矩阵的特征值代入多项式恒等式，使得原多项式含特征方程的部分化为零，从而构建出关于未知系数的线性方程组。第三问如果直接解三元一次方程组求系数会产生非常繁琐的行列式计算，这里最优雅的方法是借助拉格朗日插值法的思想（或者西尔维斯特公式），直接利用三个特征值对应的值构造出满足条件的二次多项式，然后将自变量替换为矩阵即可直接得到矩阵的n次幂表达式，极大地简化了计算过程。