0063-2003 东大工 数学 P68

常微分方程 高等数学

(1)

$$\{\begin{array}{l}\frac{dx}{dt}=-x+y\\ \frac{dy}{dt}=ax\end{array}$$

という微分方程式において、$a$は実定数、$x$の初期値$x(0)$は0ではないとする。

(1-1) 解$x(t)$が振動的になる$a$の範囲を求めよ。

(1-2) $a=-2$のとき、上記の微分方程式の一般解を求めよ。また、$t=0$のとき、$x=1,y=1$となる特殊解を求めよ。

(2) 微分方程式 $xy\frac{dy}{dx}-(x^2+y^2)=0$ を、$y=vx$ という変数$v$を導入することによって解きたい。

(2-1) この微分方程式から $y$ を消去し、$v$ と $x$ だけで表せ。

(2-2) 上記の微分方程式の解で、$x=1$ のとき、$y=1$ となるものを求めよ。

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解答：

(1-1)
第1式より$y=\frac{dx}{dt}+x$。これを第2式に代入して、

$$\begin{array}{rl}\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{dx}{dt}& =ax\\ ⟹\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{dx}{dt}-ax& =0\end{array}$$

特性方程式は${\lambda }^2+\lambda -a=0$。
解$x(t)$が振動的になる条件は、特性方程式が虚数解をもつことである。
判別式を$D$とすると、$D=1-4(-a)<0⟹1+4a<0$。

$$\boxed{a<-\frac{1}{4}}$$

(1-2)
$a=-2$のとき、$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}+\frac{dx}{dt}+2x=0$。
特性方程式${\lambda }^2+\lambda +2=0$の解は$\lambda =\frac{-1\pm \sqrt{7}i}{2}$。
一般解は（$C_1,C_2$は任意定数）、

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\left(C_1\cos \frac{\sqrt{7}}{2}t+C_2\sin \frac{\sqrt{7}}{2}t\right)\\ y(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\left\{\left(\frac{1}{2}{C}_1+\frac{\sqrt{7}}{2}{C}_2\right)\cos \frac{\sqrt{7}}{2}t+\left(-\frac{\sqrt{7}}{2}{C}_1+\frac{1}{2}{C}_2\right)\sin \frac{\sqrt{7}}{2}t\right\}\end{array}}$$

$t=0$のとき$x=1,y=1$より、

$$x(0)=C_1=1$$ $$y(0)=\frac{1}{2}{C}_1+\frac{\sqrt{7}}{2}{C}_2=1$$

これらを解いて、$C_1=1,C_2=\frac{1}{\sqrt{7}}$。
特殊解は、

$$\boxed{\{\begin{array}{l}x(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\left(\cos \frac{\sqrt{7}}{2}t+\frac{1}{\sqrt{7}}\sin \frac{\sqrt{7}}{2}t\right)\\ y(t)=e^{-\frac{1}{2}t}\left(\cos \frac{\sqrt{7}}{2}t-\frac{3}{\sqrt{7}}\sin \frac{\sqrt{7}}{2}t\right)\end{array}}$$

(2-1)
$y=vx$より$\frac{dy}{dx}=v+x\frac{dv}{dx}$。
微分方程式に代入して、

$$x(vx)\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)-(x^2+(vx{)}^2)=0$$ $$v{x}^2\left(v+x\frac{dv}{dx}\right)-x^2(1+v^2)=0$$

$x^2\ne 0$と仮定し両辺を割ると、

$$v^2+vx\frac{dv}{dx}-1-v^2=0$$ $$\boxed{vx\frac{dv}{dx}=1}$$

(2-2)
変数分離形にして積分すると、

$$\int vdv=\int \frac{1}{x}dx$$ $$\frac{1}{2}{v}^2=\ln |x|+C(C\text{は任意定数})$$

$v=\frac{y}{x}$を代入して、

$$\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\ln |x|+C$$

$x=1,y=1$を代入すると、

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}\cdot 1^2& =\ln 1+C\\ ⟹C& =\frac{1}{2}\end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rl}{\left(\frac{y}{x}\right)}^2& =2\ln |x|+1\\ ⟹y^2& =x^2(2\ln |x|+1)\end{array}$$

$x=1$の近傍では$x>0$であり、$y=1>0$より、

$$\boxed{y=x\sqrt{2\ln x+1}}$$

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这道题目考查了常微分方程的求解。第一题要求解一阶线性常微分方程组，通常的解法是将其化为高阶单变量微分方程，即从第一式中解出关于一个变量的导数关系代入第二式得到二阶常系数线性齐次微分方程，再利用特征方程的根的情况来判断解是否震荡，并进一步求出一般解和特解。第二题考查的是齐次微分方程，通过引入新变量可以将其转化为可分离变量的微分方程，求出通解后再将初始条件代入即可求得满足题意的特解，这里需要注意对数的定义域以及根据初始条件判断开方的符号。