下図に示すⅠとⅡの2つの部分よりなる棒の上端を天井に固定し下端に受板をつける．Ⅰの部分の断面積を，長さをとし，Ⅱの部分の断面積を，長さをとする．棒のヤング率を，重力加速度をとして以下の問いに答えよ．
問(1)および(2)では，明記されていない条件については，その影響が無視できるほど小さいとせよ．
(1) 受け板に質量の錘を静かに置いた．部分ⅠとⅡに生じる応力と，棒全体の伸びを求めよ．
(2) 次に錘を受板より高さの位置まで持ち上げて初速度0で静かに落下させる．衝撃荷重により部分ⅠとⅡに生じる最大の応力と，そのときの棒全体の伸びを求めよ．
(3) 上記問(2)に対応する実験を行ったとする．実際の最大応力は，無視できるほど小さいとした種々の条件の影響により，問(2)で算出した値とはならない．そのような誤差を生じさせる因子を4項目答えよ．また，それぞれの因子について，実際の最大応力を上昇させるものか減少させるものか，理由とともに答えよ．
解答：
(1)
静的軸力
部分Ⅰの応力:
部分Ⅱの応力:
棒全体の伸び:
(2)
衝撃による最大伸びを ，等価ばね定数を とおく．エネルギー保存則より：
より解を求めると，最大伸びは：
衝撃係数を とすると，最大応力は静的応力の 倍となる．
部分Ⅰの最大応力:
部分Ⅱの最大応力:
(3)
- 棒および受板の質量：衝突時の運動量移行により重力落下エネルギーの一部が運動エネルギーとして分散されるため，最大応力を減少させる．
- 衝突時のエネルギー散逸：音，熱，微小な塑性変形等により力学的エネルギーが損失するため，最大応力を減少させる．
- 応力集中：部分ⅠとⅡの境界（断面急変部）における形状不連続性により局所的に応力が増大するため，最大応力を上昇させる．
- 応力波の伝播：衝撃は瞬時に一様分布せず波動として伝播・反射を繰り返すため，過渡的な局所応力ピークがエネルギー法の平均値を超え，最大応力を上昇させる．
这是一道考查静载荷与冲击载荷对比的材料力学经典题目。首先利用胡克定律将阶梯轴等效为一个弹簧模型，通过计算各段伸长量之和得出总的静位移，并求出对应各段的静应力。在处理冲击载荷问题时，核心在于利用能量守恒原理建立方程，即重物下落减少的重力势能完全转化为杆件系统内部的弹性应变能。由此构建关于最大动态位移的一元二次方程，求解正根后可以提取出一个动载系数。冲击时的最大总伸长和各段的最大应力即为静载荷下的对应值乘以该动载系数。对于实际实验中出现的误差现象，理论模型高度理想化，假设了能量的百分百转换和材料内部应力的瞬间均匀分布。但实际测试中，导致实际应力偏小的因素主要源于能量耗散，例如碰撞瞬间产生的声热损耗、材料内摩擦，以及杆和托板自身质量在碰撞时不可避免地分摊了部分动能。另一方面，导致局部实际最大应力大幅高于理论计算值的因素主要包括截面尺寸突变引发的应力集中效应，以及冲击过程在微观时间尺度上其实是应力波在材料中传播、反射与叠加的复杂动态过程，这种波的叠加常常会产生极高的局部瞬态应力峰值。