0059-2002 东大工 机械 P62

力学 工程热力学 布雷顿循环 熵变

状態1 ($p_1,T_1$) から状態2 ($p_2,T_2$) まで可逆断熱圧縮した後に，状態2から状態3 ($p_3,T_3$) まで等圧加熱し，次に状態3から状態4 ($p_4,T_4$) まで可逆断熱膨張，そして状態4から等圧冷却で状態1に戻る，ガスタービンサイクル（ブレイトンサイクル）について考えよう．ここで，$p$ は圧力，$T$ は温度であり，動作ガスは，比熱比 $\kappa$，ガス定数 $R$ の理想気体とする．またサイクルの特徴を表す変数として，圧力比 $\varphi =p_2/p_1$，温度比 $\tau =T_3/T_1$ を定義する．

(1) このサイクルの T-s 線図（温度-比エントロピ線図）と p-v 線図（圧力-比体積線図）を書きなさい．なお定性的で良いが，各状態変化の特徴が分かるような図とすること．
(2) $T_2$ を $\varphi$，$\kappa$ と $T_1$ で示しなさい．
(3) このサイクルの理論熱効率 $\eta$ を求めなさい．但し解答は，$\varphi$，$\tau$，$\kappa$，$R$ の中から必要なものだけを使って示すこと．
(4) 状態2から状態3に至る過程での比エントロピの変化量 $\Delta s_{23}$ を求め，$\varphi$，$\tau$，$\kappa$，$R$ のみを用いて示しなさい．
(5) 一般に，圧縮機やタービンでは可逆断熱変化は実現できず，不可逆変化に伴う損失が生じる．ここでは圧縮終わりが状態2’ ($p_2,T_{2^{\prime }}$) にずれた場合を考えよう．この状態2’を問(1)で書いた T-s 線図と p-v 線図上に点で明記すると共に，状態1から状態2’までの比エントロピの変化量 $\Delta s_{12^{\prime }}$ を求めなさい．なお圧縮における不可逆性の指標として，圧縮機の断熱効率 ${\eta }_c=(T_2-T_1)/(T_{2^{\prime }}-T_1)$ を導入し，解答は，${\eta }_c$，$\varphi$，$\kappa$，$R$ のみを用いて整理すること．

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解答：

(1)
T-s線図：
1→2：鉛直上方（$s$一定）
2→3：右上方向への曲線（等圧加熱）
3→4：鉛直下方（$s$一定）
4→1：左下方向への曲線（等圧冷却）
p-v線図：
1→2：左上方への曲線（断熱圧縮，$p{v}^{\kappa }=$定数）
2→3：水平右方向（$p$一定）
3→4：右下方への曲線（断熱膨張，$p{v}^{\kappa }=$定数）
4→1：水平左方向（$p$一定）

(2)
可逆断熱過程（1→2）において：

$$T_1{p}_1^{\frac{1-\kappa }{\kappa }}=T_2{p}_2^{\frac{1-\kappa }{\kappa }}$$ $$\boxed{T_2=T_1{\varphi }^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}}$$

(3)
等圧過程より $p_2=p_3,p_1=p_4$．
受熱量 $q_{in}=c_p(T_3-T_2)$，放熱量 $q_{out}=c_p(T_4-T_1)$
可逆断熱膨張（3→4）より $T_4=T_3{\left(\frac{p_4}{p_3}\right)}^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}=T_3{\varphi }^{\frac{1-\kappa }{\kappa }}$

$$\begin{array}{rl}\eta & =1-\frac{q_{out}}{q_{in}}\\ & =1-\frac{T_4-T_1}{T_3-T_2}\\ & =1-\frac{T_3{\varphi }^{\frac{1-\kappa }{\kappa }}-T_1}{T_3-T_1{\varphi }^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}}\end{array}$$ $$\boxed{\eta =1-{\varphi }^{\frac{1-\kappa }{\kappa }}}$$

(4)
等圧過程（2→3）の比エントロピ変化：

$$\Delta s_{23}=c_p\ln \frac{T_3}{T_2}$$

$c_p=\frac{\kappa R}{\kappa -1}$，および $\frac{T_3}{T_2}=\frac{T_3}{T_1{\varphi }^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}}=\tau {\varphi }^{\frac{1-\kappa }{\kappa }}$ より

$$\boxed{\Delta s_{23}=\frac{\kappa R}{\kappa -1}\ln \tau -R\ln \varphi }$$

(5)
状態2’の位置：
T-s線図：状態2を通る等圧曲線上で，状態2の右上．
p-v線図：状態2を通る水平線上で，状態2の右側．

断熱効率 ${\eta }_c=\frac{T_2-T_1}{T_{2^{\prime }}-T_1}$ より，

$$\begin{array}{rl}{T}_{2^{\prime }}& =T_1+\frac{T_2-T_1}{{\eta }_c}\\ & =T_1\left(1+\frac{{\varphi }^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}-1}{{\eta }_c}\right)\end{array}$$

比エントロピ変化の一般式より：

$$\Delta s_{12^{\prime }}=c_p\ln \frac{T_{2^{\prime }}}{T_1}-R\ln \frac{p_{2^{\prime }}}{p_1}$$

$p_{2^{\prime }}=p_2$ であるため，

$$\boxed{\Delta s_{12^{\prime }}=\frac{\kappa R}{\kappa -1}\ln \left(1+\frac{{\varphi }^{\frac{\kappa -1}{\kappa }}-1}{{\eta }_c}\right)-R\ln \varphi }$$

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这道题目考察了理想气体布雷顿循环的热力学特性以及实际循环中考虑不可逆损失时的熵变计算。首先布雷顿循环由两个等熵过程和两个等压过程组成，根据理想气体定熵过程的状态方程可以轻易得出各点温度与压力比的关系，进而结合等压比热容求出吸热量与放热量，得到循环热效率。在求第二阶段熵变时，利用温度和压力的通用熵变公式，结合代换消去中间温度变量即可。当考虑压缩机的绝热不可逆性时，实际耗功增加导致出口温度高于理想等熵压缩时的温度，因此在温熵图和压容图上终点都会向右侧偏移。根据定义的绝热效率推导出实际的出口温度与初态温度的比值，再次套用通用熵变公式就能得到最终的熵变表达式，其中定压比热容由比热比和气体常数的关系式进行了代换。