0058-2002 东大工 机械 P60

力学 機械力学 振動工学 ラグランジュの運動方程式 動吸振器

ロッキングチェアーの運動は、力学的には転動振子とよばれ、その原理は図1に示す通りである。つまり、球体の重心がパドルの円弧の中心より下にあるときには重力による復元力が生まれ、一定周期で単振動を行う。最近、転動振子の原理をビルの制振装置に応用する試みがなされている。これに関する以下の設問に答えよ。

1 、球体の質量を $m$、パドル円弧の半径を $R$、球体の中心から接点までのパドル柱の長さを $L$、重力加速度を $g$ とするとき、図1に示す転動振子の固有角振動数を以下の手順で求めよ。ただし、パドルとパドル柱の質量と回転慣性は無視できるものとし、パドルと地面の間ではすべりは発生しないものとする。
(1) パドルの揺動角速度の関数として球体の運動エネルギーを求めよ。
(2) パドルの揺動角の関数として球体のポテンシャルエネルギーを求めよ。
(3) 運動エネルギーとポテンシャルエネルギーをラグランジュの運動方程式に代入し、転動振子の運動方程式を求めよ。このとき、振子の揺動角は微小として $\sin \theta \approx \theta ,\cos \theta \approx 1-\frac{{\theta }^2}{2}$ なる近似を用いよ。
(4) 運動方程式から固有角振動数を求めよ。

2、図2にこの転動振子を用いた制振装置の模式図を示す。この装置はダイナミックダンパーと呼ばれるもので、転動振子によって構成される副振動系によって主振動系の水平方向の揺れを抑制するものである。主振動系の質量、水平方向のバネ定数をそれぞれ $M$、$K$ として、この2自由度振動系の特性方程式を求めよ。ただし、問1の結果から求められる転動振子の固有角振動数を $\omega$、球体と主振動系の質量の比及び主振動系の固有角振動数をそれぞれ $\mu =m/M,\Omega =\sqrt{K/M}$ とし、$\Omega$、$\omega$、$\mu$ を用いるものとする。

3、図2の2自由度振動系で転動振子がダイナミックダンパーとして作用するときの同調条件を $R,L,g,M,m,K$ を用いて表せ。

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解答：

(1)
パドルの揺動角を $\theta$ とする。地面の接点を基準とすると、球体の中心の速度 $v$ は微小近似 $\cos \theta \approx 1$ のもとで $v\approx L\dot{\theta }$ となるため、運動エネルギー $T$ は

$$\boxed{T=\frac{1}{2}m{L}^2{\dot{\theta }}^2}$$

(2)
球体の中心の最下点からの高さ変化 $\Delta h$ は、$\Delta h=(R-L)-(R-L)\cos \theta \approx \frac{1}{2}(R-L){\theta }^2$ となるため、ポテンシャルエネルギー $U$ は

$$\boxed{U=\frac{1}{2}mg(R-L){\theta }^2}$$

(3)
ラグランジアン $\mathcal{L}=T-U$ をラグランジュの運動方程式 $\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \dot{\theta }}\right)-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \theta }=0$ に代入して、

$$\boxed{m{L}^2\ddot{\theta }+mg(R-L)\theta =0}$$

(4)
運動方程式を $\ddot{\theta }+\frac{g(R-L)}{L^2}\theta =0$ と整理し、

$$\boxed{\omega =\sqrt{\frac{g(R-L)}{L^2}}}$$

主振動系の変位を $X$ とすると、球体の絶対水平変位は $X+L\theta$ と近似できる。系の全運動エネルギー $T_{total}$ と全ポテンシャルエネルギー $U_{total}$ は、

$$T_{total}=\frac{1}{2}M{\dot{X}}^2+\frac{1}{2}m(\dot{X}+L\dot{\theta }{)}^2$$ $$U_{total}=\frac{1}{2}K{X}^2+\frac{1}{2}mg(R-L){\theta }^2$$

$X$ と $\theta$ についてラグランジュの運動方程式を立てると、

$$(M+m)\ddot{X}+mL\ddot{\theta }+KX=0$$ $$mL\ddot{X}+m{L}^2\ddot{\theta }+mg(R-L)\theta =0$$

解を $X=X_0{e}^{i\lambda t},\theta ={\Theta }_0{e}^{i\lambda t}$ と仮定し、${\omega }^2=\frac{g(R-L)}{L^2},{\Omega }^2=\frac{K}{M},\mu =\frac{m}{M}$ を代入して整理した係数行列の行列式を0と置くことで、求める特性方程式（$\lambda$に関する方程式）は以下のようになる。

$$\boxed{{\lambda }^4-({\Omega }^2+(1+\mu ){\omega }^2){\lambda }^2+{\Omega }^2{\omega }^2=0}$$

ダイナミックダンパーの同調条件は、主振動系と副振動系（転動振子）の単独での固有角振動数が一致すること ($\Omega =\omega$) であるため、

$$\boxed{\frac{K}{M}=\frac{g(R-L)}{L^2}}$$

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这道题考察了使用拉格朗日方程建立多自由度系统的振动微分方程，以及动力吸振器（Dynamic Damper）的基本原理。

在第一问中，关键是根据纯滚动的几何关系写出球体中心的坐标。由于没有滑动，接点的水平位移为 $R\theta$，圆心始终在同一高度，因此球体重心坐标可表示为 $x=R\theta -(R-L)\sin \theta$ 和 $y=R-(R-L)\cos \theta$。在题目要求的微小振动近似下，速度的平方简化为 $(L\dot{\theta }{)}^2$，高度的相对变化简化为 $\frac{1}{2}(R-L){\theta }^2$。

在第二问中，通过将主系统的位移 $X$ 和滚摆的相对位移 $L\theta$ 叠加，得到球体的绝对水平速度 $\dot{X}+L\dot{\theta }$，进而写出包含动能耦合的系统总动能和总势能。通过拉格朗日方程导出两个相互耦合的微分方程，假设系统做简谐振动并令系数矩阵的行列式为零，即可得到表征系统固有频率的特征方程。

第三问涉及动力吸振器的同调条件（Tuning Condition），即要求附加系统（滚摆）的固有频率等于主系统的固有频率。当满足此条件时，在主系统共振频率附近，附加系统会产生强大的反向惯性力来抵消外部激振力，从而有效抑制主系统的振动。