0057-2002 东大工 机械 P59

材料力学 流体力学 梁的弯曲

下図に示すように，水槽側壁の開口部を長さ $l$ 幅 $b$ 厚さ $2h$ の板でふさいである．板の幅方向（紙面に垂直な方向）に関しては力学状態が変化しないとみなして，以下では幅方向単位長さあたりの諸量を用いた2次元問題として問題を設定する．すなわち，板を長さ $l$ 幅 1 厚さ $2h$ の梁とみなすこととする．

梁は上端中央 A にて回転自由で側壁に固定されている．A点を原点として図に示すように梁の中央面と $x$ 軸が一致するように $x$-$y$ 座標系をとる．水面から梁を固定してある A 点までの距離を $d$，水の密度を $\rho$，梁の密度を $\gamma$ とする．A 点からの距離が $l_w$ の点に荷重 $W$ を水平方向に加えて梁を回転させ開口部より水を流出させる．$l=1.0\text{ m}$, $d=\frac{1}{3}\text{ m}$, $l_w=\frac{5}{6}\text{ m}$, $h=0.005\text{ m}$, $\rho =\frac{10}{9.8}\times 10^3{\text{ kg/m}}^3$, $\gamma =\frac{30}{9.8}\times 10^3{\text{ kg/m}}^3$, 重力加速度 $g=9.8{\text{ m/sec}}^2$ として以下の問いに答えよ．答えだけでなく求解の過程がわかるように回答すること．

(1) 荷重 $W$ がいくらになったときに開口部より水が流れ出すか．ただし梁のたわみは無視できるほど小さいとする．
(2) 水が流れ出す直前に梁に生じる曲げモーメントを座標 $x$ の関数として表せ．
(3) 水が流れ出す直前に梁に発生する $x$ 方向引張応力 ${\sigma }_{xx}$ について，$0\le x\le 0.5\text{ [m]}$ の範囲で，その最大値が発生する位置の $x,y$ 座標を求めよ．

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解答：

(1)
梁にかかる水圧は $p(x)=\rho g(x+d)$ であり，$-y$ 方向に作用する．水が流れ出す直前，梁の下端の壁からの反力はゼロとなるため，A点（原点）周りのモーメントのつり合いが成り立つ．

$$W{l}_w={\int }_0^{l}p(x)xdx$$

与えられた数値を代入する（$\rho g=10000{\text{ N/m}}^3$）．

$$\begin{array}{rl}W\left(\frac{5}{6}\right)& =10000{\int }_0^1\left(x+\frac{1}{3}\right)xdx\\ & =10000{\left[\frac{x^3}{3}+\frac{x^2}{6}\right]}_0^1\\ & =5000\end{array}$$ $$\therefore \boxed{W=6000\text{ [N]}}$$

(2)
引張が $+y$ 側に生じる曲げモーメントを正とする．A点の水平反力を $R_y$ ($+y$方向を正) とすると，水平方向の力のつり合いより，

$$R_y+W-{\int }_0^{l}p(x)dx=0$$ $$\begin{array}{rl}{R}_y& =10000{\left[\frac{x^2}{2}+\frac{x}{3}\right]}_0^1-6000\\ & =\frac{25000}{3}-6000\\ & =\frac{7000}{3}\text{ [N]}\end{array}$$

$0\le x\le \frac{5}{6}$ の範囲において，断面 $x$ より上部の力のモーメントのつり合いから：

$$\begin{array}{rl}M(x)& =R_{y}x-{\int }_0^{x}p(\xi )(x-\xi )d\xi \\ & =\frac{7000}{3}x-10000\left(\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{6}\right)\\ & =\frac{1000}{3}(7x-5x^2-5x^3)\end{array}$$

$\frac{5}{6}\le x\le 1$ の範囲において，断面 $x$ より下部の力のモーメントのつり合いから：

$$\begin{array}{rl}M(x)& =-{\int }_x^{1}p(\xi )(\xi -x)d\xi \\ & =-10000\left(\frac{1}{2}-\frac{5x}{6}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^2}{6}\right)\\ & =-\frac{5000}{3}(x^3+x^2-5x+3)\end{array}$$ $$\begin{array}{c}\therefore \boxed{\begin{array}{rl}& 0\le x\le \frac{5}{6}\text{ のとき：}M(x)=\frac{1000}{3}(7x-5x^2-5x^3)\text{ [N}\cdot \text{m]}\\ & \frac{5}{6}\le x\le 1\text{ のとき：}M(x)=-\frac{5000}{3}(x^3+x^2-5x+3)\text{ [N}\cdot \text{m]}\end{array}}\end{array}$$

(3)
引張応力 ${\sigma }_{xx}$ は，自重による軸力 $N(x)$ と曲げモーメント $M(x)$ の重ね合わせで生じる．
梁の断面積 $A=0.01{\text{ m}}^2$，断面二次モーメント $I=\frac{10^{-6}}{12}{\text{ m}}^4$，$\gamma g=30000{\text{ N/m}}^3$．

$$\begin{array}{rl}N(x)& =\gamma gA(l-x)\\ & =300(1-x)\text{ [N] (引張)}\end{array}$$

$0\le x\le 0.5$ の範囲では $M(x)>0$ であるため，曲げによる最大引張応力は $+y$ 側の表面（$y=h=0.005\text{ m}$）で発生する．

$$\begin{array}{rl}{\sigma }_{xx}(x,h)& =\frac{N(x)}{A}+\frac{M(x)}{I}h\\ & =30000(1-x)+2\times 10^7(7x-5x^2-5x^3)\text{ [Pa]}\end{array}$$

この応力が最大となる位置を求めるため $x$ で微分して0とおく．

$$\begin{array}{rl}\frac{d{\sigma }_{xx}}{dx}& =-30000+2\times 10^7(7-10x-15x^2)\\ & =0\end{array}$$ $$15x^2+10x-6.9985=0$$

この2次方程式の正の解を求めて，

$$\boxed{x=\frac{-5+\sqrt{129.9775}}{15}\approx 0.427\text{ [m]},y=0.005\text{ [m]}}$$

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这是一道结合了流体静力学和材料力学梁弯曲理论的综合题。第一问的核心在于识别“水流出前瞬间”的临界状态，此时梁底部的支撑反力恰好为零，梁仅受铰链A的支持力、水压推力和载荷W，直接对铰链A点取力矩平衡即可求出W。

求解弯矩分布时，需要先通过整体水平受力平衡求出铰链处的水平反力，然后利用截面法分别在载荷施加点前后建立弯矩方程。由于水压是随深度线性增加的分布载荷，积分计算时需小心上下限及力臂的设定。

在求最大拉应力时，不仅要考虑弯矩产生的弯曲正应力，题目中明确给出了梁的密度，这意味着梁由于自身重力产生的轴向拉伸应力也必须被纳入考量（尽管在数值上它远小于弯曲应力）。在0到0.5米的范围内，弯矩计算结果为正，这说明梁在该区域向左侧弯曲，因此拉伸侧出现在靠右侧的表面，即y正半轴的边界上。通过叠加轴向力和弯矩带来的应力，对其关于x求导求极值，便能准确定位最大拉应力的发生位置。