0056-2002 东大工 机械 P58

传热学 强制对流 集总参数法

下記の文章の空欄を埋めるべき適切な言葉，あるいは数式を答えなさい．

下図のように，一様な空気の流れの中で冷却される金属球の冷却速度を，以下に求めることにする．このような伝熱の形態を $\boxed{1}$ とよぶ．球の表面の平均熱伝達率 $h$ を，無次元数の関係で表現するとすれば，ヌセルト数（$Nu$ と書く）を二つの無次元数， $\boxed{2}$ （$X$ と書く）と流体の物性値に関係する $\boxed{3}$ （$Y$ と書く）の関数として表せばよい．その関係が，次式のように近似できるものとする．

$$\begin{array}{rl}Nu& =\frac{hd}{\lambda }\\ & =0.5X^{1/2}{Y}^{1/3}[1]\end{array}$$

ここで，関係諸量を，
$d$：球の直径 [m]
$u_{\infty }$：一様流の速度 [m/s]
$T$：金属球の温度（内部は常に一定の温度と近似できるものとする）[K]
$T_0$：金属球の初期温度 [K]
$T_{\infty }$：空気流の温度 [K]
$c_p$：空気の定圧比熱 [kJ/kg K]
$\rho$：空気の密度 [kg/m${}^3$]
$\nu$：空気の動粘性係数 [m${}^2$/s]
$\lambda$：空気の熱伝導率 [W/m K]
${\rho }_w$：金属球の密度[kg/m${}^3$]
$c_w$：金属球の比熱 [kJ/kg K]
の記号で表すことにすると，式(1)中の無次元数は，$X=$ $\boxed{4}$ ，$Y=$ $\boxed{5}$ と定義される．

(a) 金属球の熱容量は $\boxed{6}$ と表せる．また，表面の熱伝達率は式[1]から求められるので，時間を $\tau$ と書けば，金属球の温度の時間変化を表す微分方程式は，$\frac{dT}{d\tau }=$ $\boxed{7}$ と導かれる．

(b) 球の無次元温度を，$T^{\ast }=\frac{T-T_{\infty }}{T_0-T_{\infty }}$ と定義して微分方程式を書き直すと，$\frac{d{T}^{\ast }}{d\tau }=$ $\boxed{8}$ となる．これを初期条件を用いて解けば，球の無次元温度の変化は，$T^{\ast }=$ $\boxed{9}$ と求められる．

(c) 空気流の速度が $u_{\infty }=15$ の時に，金属球温度が初期温度から90%降下する（$T^{\ast }=0.1$ に達する）までの時間は，
$d=0.01$, $\nu =1.5\times 10^{-5}$, $\lambda =0.025$, $\rho =1.2$, $c_p=1.0$, ${\rho }_w=1000$, $c_w=4.0$, $Y=0.71$
とすれば，約 $\boxed{10}$ 秒となる．ここで，次の近似値，$0.71^{1/2}\approx 0.84$，$0.71^{1/3}\approx 0.89$，$\ln (10)\approx 2.3$，を用いた．

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解答：
(1) $\boxed{\text{強制対流熱伝達}}$
(2) $\boxed{\text{レイノルズ数}}$
(3) $\boxed{\text{プラントル数}}$
(4) $\boxed{\frac{u_{\infty }d}{\nu }}$
(5) $\boxed{\frac{\rho c_p\nu }{\lambda }}$
(6) $\boxed{\frac{\pi }{6}{d}^3{\rho }_w{c}_w}$
(7) $\boxed{-\frac{6h}{{\rho }_w{c}_{w}d}(T-T_{\infty })}$
(8) $\boxed{-\frac{6h}{{\rho }_w{c}_{w}d}{T}^{\ast }}$
(9) $\boxed{\exp \left(-\frac{6h}{{\rho }_w{c}_{w}d}\tau \right)}$
(10) $\boxed{138}$

(1)-(3) 名称

• (1) 強制対流熱伝達
• (2) レイノルズ数
• (3) プラントル数

(4)-(5) 無次元数の定義

• (4) $X=Re=\frac{u_{\infty }d}{\nu }$
• (5) $Y=Pr=\frac{\nu }{a}=\frac{\rho c_p\nu }{\lambda }$

(6)-(7) 熱収支方程式
球の体積 $V=\frac{\pi }{6}{d}^3$, 表面積 $A=\pi d^2$

• (6) 熱容量: $C={\rho }_w{c}_{w}V=\frac{\pi }{6}{d}^3{\rho }_w{c}_w$
• (7) エネルギー保存則 (放熱量 = 内エネルギー減少量):
  $hA(T-T_{\infty })=-C\frac{dT}{d\tau }$
  $\frac{dT}{d\tau }=-\frac{h\pi d^2}{\frac{\pi }{6}{d}^3{\rho }_w{c}_w}(T-T_{\infty })=-\frac{6h}{{\rho }_w{c}_{w}d}(T-T_{\infty })$

(8)-(9) 無次元化と一般解

• (8) 定義 $T^{\ast }\equiv \frac{T-T_{\infty }}{T_0-T_{\infty }}$ より, $\frac{d{T}^{\ast }}{d\tau }=\frac{1}{T_0-T_{\infty }}\frac{dT}{d\tau }$
  $\therefore \frac{d{T}^{\ast }}{d\tau }=-\frac{6h}{{\rho }_w{c}_{w}d}{T}^{\ast }$
• (9) 変数分離および初期条件 ($\tau =0,T^{\ast }=1$) を適用:
  ${\int }_1^{T^{\ast }}\frac{d{T}^{\ast }}{T^{\ast }}=-\frac{6h}{{\rho }_w{c}_{w}d}{\int }_0^{\tau }d\tau$
  $\ln T^{\ast }=-\frac{6h}{{\rho }_w{c}_{w}d}\tau \Rightarrow T^{\ast }=\exp \left(-\frac{6h}{{\rho }_w{c}_{w}d}\tau \right)$

(10) 数値代入と導出

• レイノルズ数: $X=\frac{15\times 0.01}{1.5\times 10^{-5}}=10^4$
• ヌセルト数: $Nu=0.5X^{1/2}{Y}^{1/3}\approx 0.5\times (10^4{)}^{1/2}\times 0.89=44.5$
• 熱伝達率: $h=\frac{Nu\cdot \lambda }{d}=\frac{44.5\times 0.025}{0.01}=111.25$
• 時間 $\tau$ の算出:
  条件 $T^{\ast }=0.1\Rightarrow \ln (T^{\ast })\approx -2.3$
  ※単位換算: $c_w=4.0\text{ kJ/kg K}\Rightarrow 4000\text{ J/kg K}$
  $-2.3=-\frac{6\times 111.25}{1000\times 4000\times 0.01}\tau$
  $2.3=\frac{667.5}{40000}\tau$
  $\tau =\frac{92000}{667.5}\approx 137.83$
  $\therefore \tau \approx 138$

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作答过程首先识别出由于外部气流流动引起的表面传热为强制对流换热。在经验关系式中，表征流动特性的无量纲数是雷诺数，而表征流动物性（动量扩散与热扩散之比）的无量纲数是普朗特数。根据物理定义即可写出对应表达式，其中空气动力粘度可用密度和运动粘度相乘代换。

因为题目假设金属球内部温度始终近似均匀，因此采用集总参数法分析。根据热量守恒，对流换热带走的热量等于金属球内能的减少量，利用给定符号列出微分方程。在引入无量纲温度后，该方程转化为标准的一阶常系数线性齐次微分方程，结合初始条件解出时间随指数衰减的规律。

最后代入数据进行计算时，需要特别注意单位的统一：公式推导时符号代表物理量本身，但在代入数值时，空气比热容和金属球比热容给定的单位都是 kJ/kg K，为使求出的对流换热系数 $h$ （单位 W/m² K）和最终的时间 $\tau$ 相匹配，代入计算时需将其转换为 J/kg K，即乘上 1000。算出雷诺数 $X=10^4$，得 $h=111.25$，再利用 $T^{\ast }=0.1$ 的关系解得时间约为 137.8 秒，取近似整数 138 即可。