0055-2002 东大工 机械 P57

力学 物理 流体力学 动量定理

以下の問題では，2次元の場合を考え，図1，図2に対し，この紙面に垂直な方向に関しては単位幅あたりの量を考えるとする．また，液体に対する重力の影響および液体と物体間の粘性摩擦は無視して良い．重力加速度を $g$，物体と水平面の間の静止摩擦係数を $\mu$ とし，以下の問いに答えよ．

(1) 図1に示すように，大気中で単位幅あたり質量 $M$ の物体が，摩擦のある水平な台の上におかれている．この物体の右側より，図に示すように密度 $\rho$ の液体の噴流を物体に衝突させる．噴流は，幅 $d$ の2次元噴流であり，また，物体の右側の壁にあたった後は，上下に分かれ物体の壁面に沿って流れるとする．このとき，噴流によって物体は力をうけるが，物体が動きださないための噴流の速度 $V_1$ に対する条件を求めよ．

(2) (1)の状態から，さらに，図2に示すように，物体の左側より，密度 $\rho$ の噴流を当てる．物体の左側は図に示すように，角度 $\theta$ の傾斜をもった斜面になっており，噴流は斜面に当たったのち，この斜面にそって流れるとする．左側の噴流の速度を $V_2$ とし，この噴流も幅 $d$ の2次元噴流の状態で物体に衝突するとする．この条件のもと，以下の問いに答えよ．
(a) 左側の噴流の速度を $V_2$ としたとき，左側の噴流から物体に加えられる力の水平方向成分 $F_x$，鉛直方向成分 $F_y$ を求めよ．
(b) 左側の噴流は斜面に衝突したのち，斜面にそって上下の方向に分かれるが，斜め上方に向かって流れる流量 $Q_1$ と斜め下方に向かう流量 $Q_2$ の比 ($Q_1/Q_2$) を求めよ．
(c) 左側の噴流の速度を徐々に上げていくと，ある速度になったところで物体が動きだすが，そのときの噴流の速度 $V_M$ を，$M,V_1,d,g,\rho ,\mu$ を用いて表せ．

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解答：

(1)
右側の噴流から受ける水平方向の力 $F_1$ は，

$$F_1=\rho d{V}_1^2\text{（左向き）}$$

物体が静止し続ける条件は，

$$F_1\le \mu Mg$$ $$\rho d{V}_1^2\le \mu Mg$$ $$\therefore \boxed{V_1\le \sqrt{\frac{\mu Mg}{\rho d}}}$$

(2)
(a)
運動量法則より，物体が流体から受ける力は壁面に垂直であるため，

$$F_x=\rho d{V}_2^2{\sin }^2\theta$$

鉛直上向きを正とすると，流体は斜面を押し下げるため，

$$F_y=-\rho d{V}_2^2\sin \theta \cos \theta$$

（ゆえに，$\boxed{F_x=\rho d{V}_2^2{\sin }^2\theta },\boxed{F_y=-\rho d{V}_2^2\sin \theta \cos \theta }$）

(b)
流体の非粘性より，斜面に平行な方向の運動量保存則が成り立つ：

$$\rho d{V}_2\cdot V_2\cos \theta =\rho Q_1{V}_2-\rho Q_2{V}_2$$ $$d{V}_2\cos \theta =Q_1-Q_2$$

また，連続の式より：

$$d{V}_2=Q_1+Q_2$$

両式から $Q_1,Q_2$ を求めると，

$$Q_1=\frac{1}{2}d{V}_2(1+\cos \theta )$$ $$Q_2=\frac{1}{2}d{V}_2(1-\cos \theta )$$ $$\therefore \boxed{\frac{Q_1}{Q_2}=\frac{1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}$$

(c)
物体が右へ動き出す直前の力の釣り合いを考える．床からの垂直抗力 $N$ は，

$$\begin{array}{rl}N& =Mg-F_y\\ & =Mg+\rho d{V}_M^2\sin \theta \cos \theta \end{array}$$

水平方向の釣り合い条件 $F_x=F_1+\mu N$ より，

$$\rho d{V}_M^2{\sin }^2\theta =\rho d{V}_1^2+\mu (Mg+\rho d{V}_M^2\sin \theta \cos \theta )$$ $$\rho d{V}_M^2({\sin }^2\theta -\mu \sin \theta \cos \theta )=\rho d{V}_1^2+\mu Mg$$ $$\therefore \boxed{V_M=\sqrt{\frac{\rho d{V}_1^2+\mu Mg}{\rho d\sin \theta (\sin \theta -\mu \cos \theta )}}}$$

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在解答这道流体力学与经典力学结合的题目时，核心思想是利用动量定理来求解流体对固体的作用力。由于题目强调了忽略粘滞摩擦，这意味着流体在平行于固体斜面的方向上不受力的作用，因此可以沿用该方向上的动量守恒来建立方程，并结合质量守恒即连续性方程顺利求出流体在斜面上分流的流量比例。在分析物体受力时需要注意的是，左侧喷流不仅提供了促使物体向右运动的水平推力，还会对斜面产生一个向下的压迫力，这会增加物体对地面的正压力从而使得最大静摩擦力变大，计算临界平衡状态时必须将这一竖直方向的作用力考虑在内才能得出正确的临界运动速度。