0054-2002 东大工 数学 P55

概率统计 概率论 几何分布

(1) 2人の人間が交互にくじを引き，先に当たりを引いた人を勝ちとする。一回のくじ引きで当たりが出る確率を常に$p$とする。最初にくじを引く人が勝つ確率$Q$を求めよ。

(2) 上記くじ引きで，勝者が決まるまでの2人合計のくじ引き回数$N$の期待値$E$を求めよ。

(3) $N$の分散$V$を求めよ。

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解答：

(1)
最初にくじを引く人が勝つのは、$2k-1$回目（$k=1,2,3,\dots$）に初めて当たりが出る場合である。
その確率は $(1-p{)}^{2k-2}p$ となる。

$$\begin{array}{rl}Q& =\sum _{k=1}^{\infty }(1-p{)}^{2k-2}p\\ & =p\sum _{k=1}^{\infty }{\left\{(1-p{)}^2\right\}}^{k-1}\\ & =\frac{p}{1-(1-p{)}^2}\\ & =\frac{p}{2p-p^2}\end{array}$$ $$\boxed{Q=\frac{1}{2-p}}$$

(2)
合計のくじ引き回数$N$が$k$回となる確率は $P(N=k)=(1-p{)}^{k-1}p$ である。
$q=1-p$ とおく。

$$\begin{array}{rl}E& =\sum _{k=1}^{\infty }kP(N\\ & =k)\\ & =p\sum _{k=1}^{\infty }k{q}^{k-1}\end{array}$$

$\sum _{k=0}^{\infty }{q}^k=\frac{1}{1-q}$ の両辺を$q$で微分すると $\sum _{k=1}^{\infty }k{q}^{k-1}=\frac{1}{(1-q{)}^2}$ となるため、

$$\begin{array}{rl}E& =p\cdot \frac{1}{(1-q{)}^2}\\ & =p\cdot \frac{1}{p^2}\end{array}$$ $$\boxed{E=\frac{1}{p}}$$

(3)
$N$の2次のモーメント $E[N^2]$ を求める。

$$\begin{array}{rl}E[N^2]& =\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2(1-p{)}^{k-1}p\\ & =p\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2{q}^{k-1}\end{array}$$

$\sum _{k=1}^{\infty }k{q}^k=q\sum _{k=1}^{\infty }k{q}^{k-1}=\frac{q}{(1-q{)}^2}$ の両辺を$q$で微分すると、

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{\infty }{k}^2{q}^{k-1}& =\frac{1\cdot (1-q{)}^2-q\cdot 2(1-q)(-1)}{(1-q{)}^4}\\ & =\frac{1+q}{(1-q{)}^3}\end{array}$$

したがって、

$$\begin{array}{rl}E[N^2]& =p\cdot \frac{1+q}{(1-q{)}^3}\\ & =p\cdot \frac{2-p}{p^3}\\ & =\frac{2-p}{p^2}\end{array}$$

分散$V$は $V=E[N^2]-E^2$ より、

$$\begin{array}{rl}V& =\frac{2-p}{p^2}-{\left(\frac{1}{p}\right)}^2\\ & =\frac{2-p-1}{p^2}\end{array}$$ $$\boxed{V=\frac{1-p}{p^2}}$$

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这道题目主要考察了几何分布的性质以及无穷等比数列求和与幂级数求导的技巧。第一问中，先手获胜意味着在奇数次抽中，因为每次抽签是独立的，所以只需将所有奇数次首次抽中的概率累加即可，本质上是一个首项为p，公比为(1-p)的平方的无穷等比数列求和。第二问和第三问实际上是在推导几何分布的数学期望和方差。总抽签次数N服从成功概率为p的几何分布。在计算期望和方差时，需要处理带有系数k和k平方的无穷级数。通常的做法是引入变量q=1-p，利用基础的无穷等比数列求和公式，对其两端关于q进行一次或多次求导，从而凑出所需要的级数形式。求出二阶原点矩后，再利用方差等于二阶原点矩减去期望平方的公式即可得到最终结果。