次に示す数列 に関して、以下の問いに答えよ。
(1) としたとき、 を満たす行列 と、そのすべての固有値と固有ベクトルを求めよ。
(2) 行列 のジョルダン標準形 をひとつ求め、その 乗 を求めよ。
(3) のとき、数列 の一般項を求めよ。
解答：
(1)
与えられた連立漸化式より、行列 は以下のようになる。
特性方程式 より、固有値は 。
各固有値について を解き、固有ベクトルを求める。
(2)
(代数的多重度2) に対して、1次独立な固有ベクトルは1つしかないため、対角化不可能である。広義固有ベクトル を から求めると、 を得る。
正則行列 とおくと、 となる。
(※基底の取り方により、他のジョルダン標準形も正解となる)
(3)
である。
であり、 を解くと 。
これを計算して各成分を求める。
这道题综合了线性代数与数列递推的知识，核心在于求解不能对角化的矩阵的 次幂。第一问求出特征值后会发现特征值 是二重根，但在代入 求解时，只能得到一个线性无关的特征向量。因为特征向量的几何重数小于代数重数，这就注定了矩阵 无法相似对角化，从而引出第二问的乔丹标准型。在构造相似变换矩阵 时，需要利用已有的特征向量 去求解非齐次线性方程组 来得到广义特征向量。将基础特征向量和广义特征向量排在一起构成矩阵 ，就能将原矩阵化为带有 的上三角乔丹块形式。求得乔丹标准型 后，计算 只需直接使用二阶乔丹块的幂次公式即可，极大地简化了矩阵高次幂的计算。最后一问则是将递推关系转化为矩阵乘法 ，带入前面求好的 和初始条件，经过简单的矩阵与向量乘法运算就能得到三个数列的通项公式。