0052-2002 东大工 数学 P54

微分积分 微积分 向量分析

閉曲線 $C$ を境界とする曲面を $S$ とし、スカラー場 $f(x,y,z)$ が $S$ および $C$ 上で与えられているとき、次の関係式が成り立つ。

$${\int }_S\left(\frac{\partial f}{\partial z}{n}_y-\frac{\partial f}{\partial y}{n}_z\right)dS={\int }_{C}fdx$$ $${\int }_S\left(\frac{\partial f}{\partial x}{n}_z-\frac{\partial f}{\partial z}{n}_x\right)dS={\int }_{C}fdy$$ $${\int }_S\left(\frac{\partial f}{\partial y}{n}_x-\frac{\partial f}{\partial x}{n}_y\right)dS={\int }_{C}fdz$$

ただし、$\mathbf{n}=n_x\mathbf{i}+n_y\mathbf{j}+n_z\mathbf{k}$ を $S$ の単位法線ベクトル、曲線 $C$ についての周回積分の向きを、進む向きが $\mathbf{n}$ である右ねじの回転方向とする。ここで、$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ は、それぞれ、$x,y,z$ 軸方向の基本単位ベクトルである。

(1) 3つの点 $(6,0,0),(0,3,0),(0,0,2)$ を頂点とする三角形を $S$ とする。スカラー場 $\varphi =xy+yz+zx$ に対して、

$$\mathbf{g}={\int }_S\mathbf{n}\times \nabla \varphi dS$$

を求めよ。ただし、$n_z$ が正となる向きに、法線ベクトル $\mathbf{n}$ をとる。

(2) 問題に与えられた $f$ に対する3つの式を用いて、ベクトル場 $\mathbf{A}(x,y,z)$ に対する次の関係式を導け。

$${\int }_S(\nabla \times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}dS={\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}$$

ただし、$\mathbf{r}=x\mathbf{i}+y\mathbf{j}+z\mathbf{k}$ である。

(3) (1) と同じ三角形を $S$ とし、ベクトル場 $\mathbf{F}=xy\mathbf{i}+yz\mathbf{j}+zx\mathbf{k}$ に対して、

$$I={\int }_S(\nabla \times \mathbf{F})\cdot \mathbf{n}dS$$

を求めよ。

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解答：

(1)
与えられた関係式の3式をそれぞれ $\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$ 成分とみなして足し合わせると、

$${\int }_S\mathbf{n}\times \nabla \varphi dS={\int }_C\varphi d\mathbf{r}$$

となる。境界 $C$ を3つの線分 $C_1,C_2,C_3$ に分けて線積分を計算する。
$C_1:(6,0,0)\to (0,3,0)$ 上では $\mathbf{r}(t)=(6-6t,3t,0)$ $(0\le t\le 1)$。
$\varphi =18t(1-t),d\mathbf{r}=(-6,3,0)dt$ より、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_1}\varphi d\mathbf{r}& ={\int }_0^{1}18t(1-t)(-6,3,0)dt\\ & =3(-6,3,0)\\ & =(-18,9,0)\end{array}$$

$C_2:(0,3,0)\to (0,0,2)$ 上では $\mathbf{r}(t)=(0,3-3t,2t)$ $(0\le t\le 1)$。
$\varphi =6t(1-t),d\mathbf{r}=(0,-3,2)dt$ より、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_2}\varphi d\mathbf{r}& ={\int }_0^{1}6t(1-t)(0,-3,2)dt\\ & =(0,-3,2)\end{array}$$

$C_3:(0,0,2)\to (6,0,0)$ 上では $\mathbf{r}(t)=(6t,0,2-2t)$ $(0\le t\le 1)$。
$\varphi =12t(1-t),d\mathbf{r}=(6,0,-2)dt$ より、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_3}\varphi d\mathbf{r}& ={\int }_0^{1}12t(1-t)(6,0,-2)dt\\ & =(12,0,-4)\end{array}$$

よって、

$$\begin{array}{rl}\mathbf{g}& =(-18,9,0)+(0,-3,2)+(12,0,-4)\\ & =(-6,6,-2)\end{array}$$ $$\boxed{\mathbf{g}=-6\mathbf{i}+6\mathbf{j}-2\mathbf{k}}$$

(2)
$\mathbf{A}=A_x\mathbf{i}+A_y\mathbf{j}+A_z\mathbf{k}$ とする。問題に与えられた3つの式で $f$ をそれぞれ $A_x,A_y,A_z$ とすると、

$${\int }_S\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}{n}_y-\frac{\partial A_x}{\partial y}{n}_z\right)dS={\int }_C{A}_{x}dx$$ $${\int }_S\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}{n}_z-\frac{\partial A_y}{\partial z}{n}_x\right)dS={\int }_C{A}_{y}dy$$ $${\int }_S\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}{n}_x-\frac{\partial A_z}{\partial x}{n}_y\right)dS={\int }_C{A}_{z}dz$$

これら3式の両辺をそれぞれ足し合わせると、左辺は

$${\int }_S\left[\left(\frac{\partial A_z}{\partial y}-\frac{\partial A_y}{\partial z}\right)n_x+\left(\frac{\partial A_x}{\partial z}-\frac{\partial A_z}{\partial x}\right)n_y+\left(\frac{\partial A_y}{\partial x}-\frac{\partial A_x}{\partial y}\right)n_z\right]dS$$

となり、これは ${\int }_S(\nabla \times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}dS$ に等しい。
一方、右辺は ${\int }_C(A_{x}dx+A_{y}dy+A_{z}dz)$ となり、これは ${\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}$ に等しい。
したがって、次式が成り立つ。

$${\int }_S(\nabla \times \mathbf{A})\cdot \mathbf{n}dS={\int }_C\mathbf{A}\cdot d\mathbf{r}$$

(証明終)

(3)
(2) で導いた関係式（スカラー場のストークスの定理）を用いると、$I={\int }_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}$ となる。(1) と同じ積分路 $C$ について計算する。
$C_1$ 上： $\mathbf{F}=(18t(1-t),0,0)$ より、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_1}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}& ={\int }_0^1-108t(1-t)dt\\ & =-18\end{array}$$

$C_2$ 上： $\mathbf{F}=(0,6t(1-t),0)$ より、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_2}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}& ={\int }_0^1-18t(1-t)dt\\ & =-3\end{array}$$

$C_3$ 上： $\mathbf{F}=(0,0,12t(1-t))$ より、

$$\begin{array}{rl}{\int }_{C_3}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}& ={\int }_0^1-24t(1-t)dt\\ & =-4\end{array}$$

よって、

$$I=-18-3-4=-25$$ $$\boxed{I=-25}$$

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本题主要考察多元微积分中的斯托克斯定理及其变形应用。第一问通过观察题目开头给出的三个标量积分关系式，可以发现待求向量 $\mathbf{g}$ 的三个分量正好对应这三个等式的左边。因此直接利用关系式将曲面积分降维成曲线积分，只需参数化三角形的三条边进行简单的单变量多项式积分即可，避免了计算平面法向量和雅可比微元的繁琐。第二问实际上是引导你利用前文给出的分量形式的关系式，推导出标准形式的斯托克斯定理，只需分别把向量场的三个分量代入对应的式子后求和，对照旋度的定义即可轻松完成证明。第三问是对第二问结论的直接应用，同样将旋度的曲面积分转化为向量场沿边界的线积分，代入之前参数化的三条路径即可迅速得出答案。如果选择直接计算曲面积分，由于旋度场和面积微元都是线性函数，也可以利用三角形重心的性质快速口算得出结果，这两种方法可以互相验证。