関数 は複素平面上の有限個の特異点を除いた領域において正則であるとする。ただし、 はそれぞれ の実部と虚部、 はそれぞれ の実部と虚部である。このとき、以下の問いに答えよ。
(1) が正則な領域で、以下の式が成立することを証明せよ。
ただし、 は の行列式を表し、 とする。
(2) のとき、 を求めよ。ただし、 である。
(3) (2) で求めた の に対して、複素平面上で原点を中心とする半径 の円を反時計回りに1周する積分路 について、 を求めよ。
解答：
(1)
が正則であるため、コーシー・リーマンの関係式 が成り立つ。
また、 である。
左辺の行列式は、
右辺の絶対値の2乗は、
ゆえに、左辺と右辺が一致するため、与式は成立する。
(証明終)
(2)
とすると、 であり、
したがって、 は以下のように表せる。
は正則であるから、 を実定数として
とおける。条件 より、
ゆえに、
(3)
、 より、
よって、求める実積分は複素積分の虚部として表される。
について、積分路 （）の内部にある特異点は のみである。
コーシーの留数定理より、
のローラン展開より、 の係数は であるため、。
したがって、虚部をとると
ゆえに、
这道题目综合考察了复变函数的几个核心概念。第一问是关于柯西-黎曼方程和解析函数导数模长的基本推导，通过直接代入偏导数关系式就能将实值雅可比行列式转换为复导数的模平方。第二问已知解析函数的实部求原函数，这里通过观察可以巧妙发现 正好是 的实部，借此直接还原出解析函数的构造形式，最后用已知点的函数值确定常数项，比使用偏导数积分或米尔恩-汤姆森方法要直观和快捷很多。第三问非常巧妙地将实平面上的第二类曲线积分转化为了复变函数围道积分的虚部。展开 后直接对应实部和虚部，接着利用留数定理寻找围道内奇点 的留数，从而极为迅速地得出了积分结果，避开了复杂的参数化或者格林公式运算。