0050-2002 东大工 数学 P53

微分积分 高等数学 积分变换

関数 $f(t)$ に関するフーリエ変換 $F(\omega )$ を次のように定義する。

$$F(\omega )={\int }_{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}dt$$

(1) 以下に定義される関数 $f(t)$ のフーリエ変換 $F(\omega )$ の実部を，$i$ を含まない形で求めよ。
また，$F({\omega }_0)$ の値を求めよ。ただし，${\omega }_0,T$ は正の定数とする。

$$f(t)=\{\begin{array}{ll}{e}^{i{\omega }_{0}t},& |t|\le T\\ 0,& |t|>T\end{array}$$

(2) 正の定数 $\varphi$ をパラメータとする関数 $g(t)$ を以下のように定義する。

$$g(t)=\{\begin{array}{ll}{e}^{i({\omega }_{0}t-\varphi )},& -T\le t\le 0\\ e^{i({\omega }_{0}t+\varphi )},& 0<t\le T\\ 0,& |t|>T\end{array}$$

$g(t)$ のフーリエ変換 $G(\omega )$ の実部を，$i$ を含まない形で求めよ。また，$G({\omega }_0)$ の値を求めよ。ただし，${\omega }_0,T$ は正の定数とする。

(3) (2) で求めた $G(\omega )$ について，$G({\omega }_0)=0$ となるような正のパラメータ $\varphi$ のうち，最小のものを求めよ。

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解答：

(1)
$\omega \ne {\omega }_0$ のとき、

$$\begin{array}{rl}F(\omega )& ={\int }_{-T}^T{e}^{i{\omega }_{0}t}{e}^{-i\omega t}dt\\ & ={\int }_{-T}^T{e}^{i({\omega }_0-\omega )t}dt\\ & ={\left[\frac{e^{i({\omega }_0-\omega )t}}{i({\omega }_0-\omega )}\right]}_{-T}^T\\ & =\frac{e^{i({\omega }_0-\omega )T}-e^{-i({\omega }_0-\omega )T}}{i({\omega }_0-\omega )}\\ & =\frac{2\sin (({\omega }_0-\omega )T)}{{\omega }_0-\omega }\end{array}$$

この式は実数であるため、そのまま実部となる。

$\omega ={\omega }_0$ のとき、

$$\begin{array}{rl}F({\omega }_0)& ={\int }_{-T}^T{e}^{i\cdot 0}dt\\ & ={\int }_{-T}^{T}1dt\\ & =2T\end{array}$$

よって、

$$\text{実部}:\boxed{\frac{2\sin (({\omega }_0-\omega )T)}{{\omega }_0-\omega }}(\omega \ne {\omega }_0\text{のとき})$$ $$\boxed{F({\omega }_0)=2T}$$

（注：$\omega ={\omega }_0$ のときの実部は $2T$ である。）

(2)
$\omega \ne {\omega }_0$ のとき、

$$\begin{array}{rl}G(\omega )& ={\int }_{-T}^0{e}^{i({\omega }_{0}t-\varphi )}{e}^{-i\omega t}dt+{\int }_0^T{e}^{i({\omega }_{0}t+\varphi )}{e}^{-i\omega t}dt\\ & =e^{-i\varphi }{\int }_{-T}^0{e}^{i({\omega }_0-\omega )t}dt+e^{i\varphi }{\int }_0^T{e}^{i({\omega }_0-\omega )t}dt\\ & =e^{-i\varphi }{\left[\frac{e^{i({\omega }_0-\omega )t}}{i({\omega }_0-\omega )}\right]}_{-T}^0+e^{i\varphi }{\left[\frac{e^{i({\omega }_0-\omega )t}}{i({\omega }_0-\omega )}\right]}_0^T\\ & =\frac{e^{-i\varphi }(1-e^{-i({\omega }_0-\omega )T})+e^{i\varphi }(e^{i({\omega }_0-\omega )T}-1)}{i({\omega }_0-\omega )}\\ & =\frac{-(e^{i\varphi }-e^{-i\varphi })+(e^{i(({\omega }_0-\omega )T+\varphi )}-e^{-i(({\omega }_0-\omega )T+\varphi )})}{i({\omega }_0-\omega )}\\ & =\frac{-2i\sin \varphi +2i\sin (({\omega }_0-\omega )T+\varphi )}{i({\omega }_0-\omega )}\\ & =\frac{2(\sin (({\omega }_0-\omega )T+\varphi )-\sin \varphi )}{{\omega }_0-\omega }\end{array}$$

この式も実数であるため、そのまま実部となる。

$\omega ={\omega }_0$ のとき、

$$\begin{array}{rl}G({\omega }_0)& ={\int }_{-T}^0{e}^{-i\varphi }dt+{\int }_0^T{e}^{i\varphi }dt\\ & =T{e}^{-i\varphi }+T{e}^{i\varphi }\\ & =T(e^{i\varphi }+e^{-i\varphi })\\ & =2T\cos \varphi \end{array}$$

よって、

$$\text{実部}:\boxed{\frac{2(\sin (({\omega }_0-\omega )T+\varphi )-\sin \varphi )}{{\omega }_0-\omega }}(\omega \ne {\omega }_0\text{のとき})$$ $$\boxed{G({\omega }_0)=2T\cos \varphi }$$

（注：$\omega ={\omega }_0$ のときの実部は $2T\cos \varphi$ である。）

(3)
(2) の結果より、$G({\omega }_0)=2T\cos \varphi =0$ である。
$T>0$ より、$\cos \varphi =0$ となる。
これを満たす正のパラメータ $\varphi$ は $\varphi =\frac{\pi }{2}+n\pi$ ($n$ は非負整数) と表せる。
正で最小のものを求めるので、$n=0$ のとき、

$$\boxed{\varphi =\frac{\pi }{2}}$$

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这道题目主要考察了分段函数的傅里叶变换计算以及欧拉公式在复指数形式中的灵活应用。在求解积分时，遇到复指数函数，我们通过将其指数项合并后进行常规的定积分计算。随后利用欧拉公式将复指数的差转化为正弦或余弦函数形式，可以非常方便地抵消掉虚数单位并提取出实部。需要特别注意的是，在计算积分时，分母会出现积分变量与特定常数的差值，因此必须要对该差值是否为零进行分类讨论。差值为零时的特例既可以直接代入原积分式重新进行简单的常数积分计算，也可以通过对前面求得的一般表达式应用洛必达法则求极限来相互验证。最后求解参数最小值的问题，只需将前面算出的结果代入方程，结合基础三角函数的性质和题目给定的参数范围即可得出确切的数值。整个过程紧密围绕着复数的代数化简与积分基础展开。