解答：
与式をベクトル形式 dtdv=Av で表す。ここで、
v=(xyz)A=(−(a+1)a1a−(a+1)111−2)
特性方程式 ∣A−λI∣=0 を解く。
−(a+1)−λa1a−(a+1)−λ111−2−λ=0
行列式の計算より、
−λ(λ+3)(λ+2a+1)=0
固有値は λ1=0,λ2=−3,λ3=−2a−1。
対応する固有ベクトルを求める：
λ1=0 のとき、p1=111
λ2=−3 のとき、p2=11−2
λ3=−2a−1 のとき、p3=1−10
よって、一般解は
x(t)y(t)z(t)=C1111+C2e−3t11−2+C3e−(2a+1)t1−10
初期条件 v(0)=300 を代入する。
11111−21−10C1C2C3=300
これを解くと、C1=1,C2=21,C3=23。
ゆえに、
x(t)=1+21e−3t+23e−(2a+1)ty(t)=1+21e−3t−23e−(2a+1)tz(t)=1−e−3t
这道题的核心在于求解常系数线性微分方程组，主要运用了线性代数中关于矩阵特征值和特征向量的知识。将原方程组转化为矩阵乘法形式后，可以直接通过计算系数矩阵的特征值来确定解的指数项部分。值得注意的是，该方程的系数矩阵是一个实对称矩阵，这意味着它的特征值均为实数，且对应的特征向量相互正交。这种结构让特征向量的计算变得十分简单，构建基础解系也更加明朗。在求出包含任意常数的一般解之后，只需要代入题目中给定的 t=0 时的初始条件，求解一个简单的三元一次线性方程组即可唯一确定常数项，从而得出方程组的特解。