図1のブロック線図（はラプラス演算子）に示す対象を制御することを考える．ここで，定数とする．このとき，以下の問いに答えよ．
(1) 図1に示す制御対象の安定性を判別せよ．
(2) 図2に示すフィードバック制御系（目標値，制御量）を組むことを考える．ここで，パラメータとする．このフィードバック制御系の根軌跡を描け．
(3) パラメータの値によって，図2のフィードバック制御系の特性がどのように変わるか，描いた根軌跡に基づき簡潔に説明せよ．
解答：
(1)
制御対象の伝達関数 の極は である。
（虚軸上）に極をもつため、
(2)
閉ループ系の特性方程式は、
根の公式より、閉ループ極 は、
のとき、根は の実数。
のとき、根は実部が の複素共役。
したがって、根軌跡は以下のようになる。
(3)
(2)の根の式より、 において極の実部は常に負（ または ）であるため、系は常に漸近安定である。
根軌跡の分岐点 を境に特性が変化する。
这道题主要考察了线性控制系统中的稳定性分析和根轨迹法。第一问针对开环系统，通过观察传递函数的分母可以发现系统有一个位于原点的极点，这在控制理论中意味着系统处于临界稳定状态，不具备渐近稳定性。第二问要求绘制闭环系统的根轨迹，本质上就是分析特征方程的根随参数K增大的运动轨迹。对于这个二阶系统，直接利用一元二次方程的求根公式就可以得到极点的解析表达式。根据判别式的正负，可以清楚地看到极点先在实轴上相向运动，在某一点相遇后分离并平行于虚轴向上下两端移动。第三问是基于根轨迹对系统动态性能的分析。由于极点的实部始终小于零，说明闭环系统在给定的参数范围内永远是稳定的。而极点是实数还是复数则决定了系统的时域响应特性，当K较小时极点都在实轴上，系统处于过阻尼或临界阻尼，响应不会出现超调和震荡；当K增大越过分离点后，极点变成共轭复数，系统进入欠阻尼状态，响应速度虽然加快但会出现震荡。