図1に示す肉厚 の薄肉円筒の両端にふたを溶接して，内圧 (ゲージ圧) を受ける容器を作製する．容器の内径を とし，肉厚 は内径に比して十分小さいとする．両端の溶接部の影響を受けない円筒中央付近について以下の問いに答えよ．
(1) 円筒の軸方向の応力 ，ひずみ ，円周方向の応力 ，ひずみ の間に成り立つ関係を求めよ．ただし内径方向 (肉厚方向) の応力は， と に比べて小さく無視できるものとし，また円筒のヤング率を ，ポアソン比を とせよ．
(2) 内圧 により発生する応力 および を求めよ．
図2に示すように，円筒胴部分の円周方向に線材を巻きつけて図1の容器を補強する．線材を巻いた部分を，その断面を図2(b)に示すように，厚さ の円筒の外側に厚さ の円筒がすきま無く密着しているとしてモデル化する．ただし，線材を巻いた厚さ の部分については，周方向のみ力を受け持つとし，そのヤング率は ，ポアソン比は零とする．また および は円筒内径 に比べて十分小さいとし，線材をモデル化した厚さ の円筒についても内径を近似的に としてよいとする．内側と外側の円筒間の摩擦は無視できるとし，内圧が零の状態では内側と外側の境界に力は生じないとする．
(3) 内圧 が加わっても内側円筒と外側円筒の間にすきまを生じないためには，内側円筒の円周方向ひずみと外側円筒のそれが等しくなくてはいけない．この条件より内圧 により内側円筒に発生する応力 および を求めよ．ただし，問(1)同様，内径方向(肉厚方向)の応力は，内側外側いずれの円筒においても小さく無視できるとする．
(4) 内側円筒に発生する応力 と が等しくなる場合が，一種の最適状態であると考えられる．この状態を実現するには，外側円筒の厚さ をいくらとすれば良いか．
解答：
(1)
平面応力状態のフックの法則より
(2)
軸方向の力のつり合い：
円周方向の力のつり合い：
(3)
外側円筒は軸方向の力を受けないため、軸方向の力は内側円筒のみが負担する。
外側円筒の円周方向応力を とすると、円周方向の力のつり合いより
ひずみの連続条件 より
これより を得る。つり合い式に代入して整理すると
(4)
より
本题考查的是材料力学中薄壁圆筒的应力与应变分析。第一问基于平面应力状态下的广义胡克定律，由于径向应力可以忽略不计，直接写出带有泊松效应的轴向和周向本构方程即可。第二问利用截面法，分别截取圆筒的横截面和纵截面，通过内部气体总压力与筒壁内力的静力平衡关系，求解出承受内压情况下的轴向应力和周向应力。第三问引入了外部线材缠绕加强层，题目说明线材仅承受周向力，因此轴向受力情况未变，内筒的轴向应力与第二问相同；对于周向力，由内外筒共同承担，列出整体的周向静力平衡方程，再结合内外筒在界面处周向应变相等的变形协调条件，联立方程组即可解出内筒的周向应力。最后一问要求达到轴向与周向等应力的最优受力状态，只需将第三问中求得的两个应力表达式令其相等，经过简单的代数化简就能解出所需外筒厚度与各项材料参数之间的关系。