0042-2001 东大工 机械 P42

力学 工程热力学 理想气体 能量均分定理

大気中の酸素や窒素について，2原子分子よりなる理想気体と考えて以下の設問に答えよ．ただし，$p$は圧力，$v$は比体積，$T$は絶対温度，$m$は分子の質量，$V_x$は分子の$x$方向速度，$k_B$はボルツマン定数，$R$は気体定数，$c_v$は定積比熱，$c_p$は定圧比熱，$\kappa$は比熱比，$u$は内部エネルギー，$s$は比エントロピーとする．

(1) 1つの分子の1自由度あたりの運動エネルギー（たとえば，$\frac{1}{2}m{V}_x^2$）の平均が$\frac{1}{2}{k}_{B}T$であることから，内部エネルギー$u$は，

$$u=\frac{5}{2}RT$$

と表せることを示せ．

(2) 比熱比$\kappa$を求めよ．

(3) 定圧比熱$c_p$，定積比熱$c_v$と気体定数$R$についてよく知られたMeyerの関係式が成り立つことを示せ．

(4) 圧力$p$，比体積$v$の状態における比エントロピー$s$を求めよ．ただし，基準状態$p_0,v_0$における比エントロピーを$s_0$とする．

(5) 状態1（圧力$p_1$，比体積$v_1$）から状態2（比体積$v_2$）までの準静的な膨張について検討するため，$p{v}^n=const.$（$n$：定数）で表されるポリトロープ変化をしたときに気体が外部になす仕事とエントロピー変化を計算せよ．それぞれ，$p_1,v_1,v_2$を用いて表せ．

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解答：

(1)
2原子分子の自由度は、並進運動の3と回転運動の2を合わせて$f=5$である。
エネルギー等分配則より、1分子あたりの平均運動エネルギーは $\frac{5}{2}{k}_{B}T$ となる。
気体単位質量あたりの分子数を$N$とすると、気体定数は $R=N{k}_B$ と表される。
したがって、単位質量あたりの内部エネルギー$u$は、

$$\begin{array}{rl}u& =N\times \frac{5}{2}{k}_{B}T\\ & =\frac{5}{2}(N{k}_B)T\\ & =\frac{5}{2}RT\end{array}$$

(証明終)

(2)
(1)より、定積比熱 $c_v$ は、

$$\begin{array}{rl}{c}_v& ={\left(\frac{\partial u}{\partial T}\right)}_v\\ & =\frac{5}{2}R\end{array}$$

Meyerの関係式 $c_p-c_v=R$ より、定圧比熱 $c_p$ は、

$$c_p=c_v+R=\frac{7}{2}R$$

よって、比熱比 $\kappa$ は、

$$\begin{array}{rl}\kappa & =\frac{c_p}{c_v}\\ & =\frac{\frac{7}{2}R}{\frac{5}{2}R}\\ & =\frac{7}{5}\end{array}$$ $$\boxed{\kappa =1.4}$$

(3)
熱力学第一法則より、可逆過程の微小熱量 $dq$ は、

$$dq=du+pdv$$

理想気体の状態方程式 $pv=RT$ の両辺を微分すると、

$$pdv+vdp=RdT$$

定圧過程 ($dp=0$) では $pdv=RdT$ であり、$du=c_{v}dT$ を代入すると、

$$d{q}_p=c_{v}dT+RdT=(c_v+R)dT$$

一方、定圧比熱の定義より $d{q}_p=c_{p}dT$ であるから、

$$\begin{array}{rl}{c}_{p}dT& =(c_v+R)dT\\ ⟹c_p-c_v& =R\end{array}$$

(証明終)

(4)
熱力学第一法則とエントロピーの定義より、

$$\begin{array}{rl}ds& =\frac{dq}{T}\\ & =\frac{du+pdv}{T}\\ & =c_v\frac{dT}{T}+\frac{p}{T}dv\end{array}$$

状態方程式 $T=\frac{pv}{R}$ より、$\frac{p}{T}=\frac{R}{v}$ および $dT=\frac{pdv+vdp}{R}$ を代入する。

$$\begin{array}{rl}ds& =c_v\frac{pdv+vdp}{pv}+R\frac{dv}{v}\\ & =c_v\frac{dp}{p}+(c_v+R)\frac{dv}{v}\\ & =c_v\frac{dp}{p}+c_p\frac{dv}{v}\end{array}$$

基準状態 $(p_0,v_0)$ から状態 $(p,v)$ まで積分する。

$$s-s_0=c_v{\int }_{p_0}^p\frac{dp}{p}+c_p{\int }_{v_0}^v\frac{dv}{v}$$ $$\boxed{s=s_0+c_v\ln \frac{p}{p_0}+c_p\ln \frac{v}{v_0}}$$

(5)
ポリトロープ変化 $p{v}^n=p_1{v}_1^n=C$ より、任意の体積 $v$ における圧力は $p=p_1{v}_1^n{v}^{-n}$ である。
気体がなす仕事 $W$ は、

$$\begin{array}{rl}W& ={\int }_{v_1}^{v_2}pdv\\ & ={\int }_{v_1}^{v_2}{p}_1{v}_1^n{v}^{-n}dv\end{array}$$

$n\ne 1$ の場合、

$$\begin{array}{rl}W& =p_1{v}_1^n{\left[\frac{v^{1-n}}{1-n}\right]}_{v_1}^{v_2}\\ & =\frac{p_1{v}_1^n{v}_2^{1-n}-p_1{v}_1}{1-n}\end{array}$$ $$\boxed{W=\frac{p_1{v}_1}{n-1}\left\{1-{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^{n-1}\right\}(n\ne 1)}$$

エントロピー変化 $\Delta s=s_2-s_1$ は、(4)の結果を利用する。

$$\Delta s=c_v\ln \frac{p_2}{p_1}+c_p\ln \frac{v_2}{v_1}$$

$p_2=p_1{\left(\frac{v_1}{v_2}\right)}^n$ より $\frac{p_2}{p_1}={\left(\frac{v_2}{v_1}\right)}^{-n}$ を代入する。

$$\begin{array}{rl}\Delta s& =c_v\ln {\left(\frac{v_2}{v_1}\right)}^{-n}+c_p\ln \frac{v_2}{v_1}\\ & =-n{c}_v\ln \frac{v_2}{v_1}+c_p\ln \frac{v_2}{v_1}\end{array}$$ $$\boxed{\Delta s=(c_p-n{c}_v)\ln \frac{v_2}{v_1}}$$

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这道题主要考察了理想气体的热力学基本定律和状态过程计算。第一问利用能量均分定理，常温下双原子分子仅激发平动和转动共五个自由度，由此可直接证明内能公式。基于内能与温度的关系可以得到定容比热，再通过迈耶公式求出定压比热，进而得到第二问的比热比常数。第三问迈耶公式的推导核心在于利用状态方程式的微分形式替换热力学第一定律中的膨胀功项。第四问要求将熵表示为压力和比容的函数，这需要从熵的微分定义出发，消去温度变量并进行定积分。最后一问针对多方过程，作功的计算直接对压力进行关于体积的积分即可，注意指数不等于1的情况；而熵变的计算则直接套用第四问得出的状态函数表达式，结合多方过程的压力-体积约束关系化简即可得出结果。