0041-2001 东大工 机械 P41

传热学 流体力学 边界层理论

以下の境界層に関する文章を読んで問いに答えよ。

大きな部屋の中に置かれた平板に沿って、流体が流れている。平板は一様な温度${\theta }_w$に保たれており、平板から十分に離れた位置での流体の温度は${\theta }_{\infty }$ ($<{\theta }_w$)、速度は$U_{\infty }$、部屋の壁の温度は${\theta }_{\infty }$とする。この場合、平板近くには速度分布を有する速度境界層（厚さ$\delta$）と、温度分布を有する温度境界層（厚さ${\delta }_{\theta }$）が形成される。境界層は、平板の先端近くでは層流境界層であるが、平板の長さ$L$が十分に長い場合はやがて乱流境界層に遷移する。

ここで、層流境界層における速度境界層厚さは、速度分布が平板の長さ方向座標$x$に相似とみなし、平板表面と直交する座標$y$の3次式で近似すると、運動方程式から次式で与えられる。

$$\delta =4.64\sqrt{\frac{\nu x}{U_{\infty }}}(1)$$

但し、$\nu$は動粘性係数である。同様に温度境界層厚さは、温度分布を$y$の3次式で近似して、エネルギ式に対して上述の速度分布および速度境界層厚さを用いると次式で与えられる。

$${\delta }_{\theta }=\frac{\delta }{1.026{\mathrm{Pr}}^{\frac{1}{3}}}(2)$$

但し、$\mathrm{Pr}$はプラントル数である。また、単位時間あたりに平板の単位表面積から流体に伝わる熱流束を、温度差$\Theta$ ($={\theta }_w-{\theta }_{\infty }$) で除した値$h$を熱伝達率と呼ぶ。層流境界層における熱伝達率は、求められた温度分布とフーリエの法則とを用いると、次式で与えられる。

$$h=\frac{3\lambda }{2{\delta }_{\theta }}(3)$$

ここで、$\lambda$は流体の熱伝導率である。

(1) 層流境界層から乱流境界層への遷移レイノルズ数${\mathrm{Re}}_x$（代表長さは境界層が乱流に遷移する距離$x_c$、代表速度は$U_{\infty }$）が${\mathrm{Re}}_x=4\times 10^5$であるとして、$x=x_c$における速度境界層厚さを代表長さとした場合の遷移レイノルズ数${\mathrm{Re}}_{\delta }$のおおよその値を求めよ。
(2) 放射の影響は無視できるとして、層流境界層における熱伝達率$h$と平板先端からの距離$x$との関係を、無次元表示せよ。また、その無次元表示の中で熱伝達率を含む無次元数の意味を考察せよ。
(3) 上の問いの結果に基づき、層流境界層中のある位置$x$での熱伝達率を促進する方法について考察せよ。但し、流体は変更できないとする。
(4) 平板（放射率${\epsilon }_w$）と部屋の壁（放射率${\epsilon }_{\infty }$）との間の放射伝熱量は、部屋の壁の放射率とは無関係となることを説明せよ。但し、流体は乾燥空気とする。

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解答：

(1)

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{Re}}_x& =\frac{U_{\infty }{x}_c}{\nu }\\ & =4\times 10^5\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Re}}_{\delta }& =\frac{U_{\infty }\delta }{\nu }\\ & =\frac{U_{\infty }}{\nu }\cdot 4.64\sqrt{\frac{\nu x_c}{U_{\infty }}}\\ & =4.64\sqrt{\frac{U_{\infty }{x}_c}{\nu }}\\ & =4.64\sqrt{{\mathrm{Re}}_x}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\mathrm{Re}}_{\delta }& =4.64\sqrt{4\times 10^5}\\ & =928\sqrt{10}\end{array}$$ $$\boxed{{\mathrm{Re}}_{\delta }\approx 2935}$$

(2)
${\mathrm{Nu}}_x=\frac{hx}{\lambda }$、${\mathrm{Re}}_x=\frac{U_{\infty }x}{\nu }$ と定義する。式(1)(2)(3)より

$$\begin{array}{rl}h& =\frac{3\lambda }{2}\frac{1.026{\mathrm{Pr}}^{1/3}}{4.64\sqrt{\frac{\nu x}{U_{\infty }}}}\\ ⟹\frac{hx}{\lambda }& =\frac{3\times 1.026}{2\times 4.64}\sqrt{\frac{U_{\infty }x}{\nu }}\stackrel{1/3}{\mathrm{Pr}}\end{array}$$ $$\boxed{{\mathrm{Nu}}_x\approx 0.332{{\mathrm{Re}}_x}^{\frac{1}{2}}{\text{Pr}}^{\frac{1}{3}}}$$

意味：$\boxed{\text{ヌセルト数 }{\mathrm{Nu}}_x\text{ は、流体の熱伝導に対する対流熱伝達の強さの比を表す。}}$

(3)
${\mathrm{Nu}}_x$ の式より、$h\propto U_{\infty }^{1/2}$ である。流体と位置 $x$ が一定の条件では、

$$\boxed{\text{主流速度 }{U}_{\infty }\text{ を大きくする。}}$$

(4)
部屋の表面積を $A_{\infty }$、平板の表面積を $A_w$ とする。大きな部屋の中に平板が置かれているため、$A_{\infty }\gg A_w$ である。
平板と壁の間の放射伝熱量 $Q$ は次式で表される。

$$Q=\frac{A_w\sigma ({\theta }_w^4-{\theta }_{\infty }^4)}{\frac{1}{{\epsilon }_w}+\frac{A_w}{A_{\infty }}\left(\frac{1}{{\epsilon }_{\infty }}-1\right)}$$

$A_{\infty }\to \infty$ の極限において $\frac{A_w}{A_{\infty }}\to 0$ となり、分母の ${\epsilon }_{\infty }$ を含む項が消滅する。乾燥空気は放射に関与しないため、放射伝熱量は部屋の壁の放射率 ${\epsilon }_{\infty }$ と無関係となる。(証明終)

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本题考察了流体力学和传热学中边界层理论的基本概念和计算。第一问要求计算以边界层厚度为特征长度的雷诺数，通过题目给出的边界层厚度经验公式，可以直接将特征长度从x转换为$\delta$，从而推导出两者雷诺数之间的比例关系为$4.64\sqrt{{\mathrm{Re}}_x}$，代入数值即可求解。第二问是推导平板层流边界层的局部努塞尔数经验关联式，将厚度公式代入热对流系数的定义式中整理，即可凑出努塞尔数和雷诺数的无量纲形式，努塞尔数本身代表了对流换热与纯导热之间的换热能力比值。第三问根据第二问推导出的无量纲关系式可以看出，在流体物性不变且位置固定的情况下，对流传热系数与主流速度的平方根成正比，因此提高来流速度是促进换热的最直接方法。第四问涉及封闭空腔内的表面间辐射换热，由于房间的表面积远大于平板的表面积，根据角系数和表面辐射热阻的计算公式，房间墙壁的辐射热阻部分在极限情况下趋于零，因此其表面发射率不会影响最终的系统辐射换热量。