0040-2001 东大工 机械 P40

传热学 流体力学 无量纲化

平板に沿って発達する境界層が層流であれば、そこでは一般に以下の各式が成立する。

$$\frac{\partial U}{\partial x}+\frac{\partial V}{\partial y}=0$$ $$U\frac{\partial U}{\partial x}+V\frac{\partial U}{\partial y}=\nu \frac{{\partial }^{2}U}{\partial y^2}$$ $$U\frac{\partial \theta }{\partial x}+V\frac{\partial \theta }{\partial y}=\alpha \frac{{\partial }^2\theta }{\partial y^2}+\left(\frac{\nu }{c_p}\right){\left(\frac{\partial U}{\partial y}\right)}^2$$

ここで、各記号は以下を意味する。$x$；平板長さ方向の座標、$y$；平板表面と直行する方向の座標、$U$；$x$方向速度、$V$；$y$方向速度、$\nu$；流体の動粘性係数、$\theta$；流体の温度、$\alpha$；流体の温度伝導率、$c_p$；流体の比熱。また、平板の温度${\theta }_w$（一様温度）、一様流の速度$U_{\infty }$、温度${\theta }_{\infty }$（$<{\theta }_w$）、および、平板長さ$L$とする。
このとき、以下の問いに答えよ。

(1) 上記の三つの式を$U_{\infty }$、$L$および温度差$\Theta$（$={\theta }_w-{\theta }_{\infty }$）を用いて無次元化せよ。但し、無次元化にあたって使用できる無次元量は、無次元速度、無次元座標、無次元温度を除いて3つとする。

(2) (1)で得られた（無次元速度、無次元座標、無次元温度以外の）3つの無次元量について、それぞれ分母・分子を物理的に有意な形に変形し、分母・分子に共通な次元を示し、その無次元量の意味を述べよ。

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解答：

(1)
無次元変数を $x^{\ast }=\frac{x}{L},y^{\ast }=\frac{y}{L},U^{\ast }=\frac{U}{U_{\infty }},V^{\ast }=\frac{V}{U_{\infty }},{\theta }^{\ast }=\frac{\theta -{\theta }_{\infty }}{\Theta }$ と定義し、各式に代入する。

連続の式：

$$\begin{array}{rlrlr}\frac{U_{\infty }}{L}\frac{\partial U^{\ast }}{\partial x^{\ast }}+\frac{U_{\infty }}{L}\frac{\partial V^{\ast }}{\partial y^{\ast }}& =0& & & \\ ⟹\boxed{\frac{\partial U^{\ast }}{\partial x^{\ast }}+\frac{\partial V^{\ast }}{\partial y^{\ast }}=0}& & & & \end{array}$$

運動量方程式：

$$\frac{U_{\infty }^2}{L}\left(U^{\ast }\frac{\partial U^{\ast }}{\partial x^{\ast }}+V^{\ast }\frac{\partial U^{\ast }}{\partial y^{\ast }}\right)=\frac{\nu U_{\infty }}{L^2}\frac{{\partial }^2{U}^{\ast }}{\partial y^{\ast 2}}$$

両辺に $\frac{L}{U_{\infty }^2}$ を乗じると、レイノルズ数 $Re=\frac{U_{\infty }L}{\nu }$ を用いて次のように表される。

$$\boxed{U^{\ast }\frac{\partial U^{\ast }}{\partial x^{\ast }}+V^{\ast }\frac{\partial U^{\ast }}{\partial y^{\ast }}=\frac{1}{Re}\frac{{\partial }^2{U}^{\ast }}{\partial y^{\ast 2}}}$$

エネルギー方程式：

$$\frac{U_{\infty }\Theta }{L}\left(U^{\ast }\frac{\partial {\theta }^{\ast }}{\partial x^{\ast }}+V^{\ast }\frac{\partial {\theta }^{\ast }}{\partial y^{\ast }}\right)=\frac{\alpha \Theta }{L^2}\frac{{\partial }^2{\theta }^{\ast }}{\partial y^{\ast 2}}+\frac{\nu U_{\infty }^2}{c_p{L}^2}{\left(\frac{\partial U^{\ast }}{\partial y^{\ast }}\right)}^2$$

両辺に $\frac{L}{U_{\infty }\Theta }$ を乗じ、プラントル数 $Pr=\frac{\nu }{\alpha }$ およびエッカート数 $Ec=\frac{U_{\infty }^2}{c_p\Theta }$ を導入すると次のように表される。

$$\boxed{U^{\ast }\frac{\partial {\theta }^{\ast }}{\partial x^{\ast }}+V^{\ast }\frac{\partial {\theta }^{\ast }}{\partial y^{\ast }}=\frac{1}{RePr}\frac{{\partial }^2{\theta }^{\ast }}{\partial y^{\ast 2}}+\frac{Ec}{Re}{\left(\frac{\partial U^{\ast }}{\partial y^{\ast }}\right)}^2}$$

(2)
① レイノルズ数 $Re$

$$Re=\frac{\rho U_{\infty }^2/L}{\mu U_{\infty }/L^2}$$

共通次元：$[M{L}^{-2}{T}^{-2}]$ （単位体積あたりの力）
分母は粘性力、分子は慣性力を表す。
意味：$\boxed{\text{慣性力と粘性力の比}}$

② プラントル数 $Pr$

$$Pr=\frac{\nu }{\alpha }$$

共通次元：$[L^2{T}^{-1}]$ （拡散率）
分母は熱の拡散率（温度伝導率）、分子は運動量の拡散率（動粘性係数）を表す。
意味：$\boxed{\text{運動量拡散率と熱拡散率の比}}$

③ エッカート数 $Ec$

$$Ec=\frac{U_{\infty }^2}{c_p\Theta }$$

共通次元：$[L^2{T}^{-2}]$ （単位質量あたりのエネルギー）
分母はエンタルピー変化（熱エネルギー）、分子は運動エネルギーを表す。
意味：$\boxed{\text{運動エネルギーと熱エネルギーの比（粘性散逸の効果の指標）}}$

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这道题考察了流体力学和传热学中经典的边界层方程无量纲化过程。通过引入特征长度、特征速度和特征温差，将物理量转化为无量纲形式，可以提取出控制流场和温度场的关键无量纲准则数。在动量方程中自然分离出表征流动状态的雷诺数，而在能量方程中则浮现出普朗特数和埃克特数。普朗特数是由流体自身物性决定的参数，联系了流体的动量传递与热量传递能力；埃克特数则出现在粘性耗散项前，当流速极大或温差极小时该项不可忽略。对无量纲量物理意义的解析本质上是量纲分析的应用，要求将公式组合的分子分母凑成具有相同量纲和明确对应物理意义的量，例如单位体积的力、单位质量的能量或扩散率等，这样可以直接体现不同物理机制在方程中所占权重的博弈关系。