0039-2001 东大工 机械 P39

流体力学 伯努利方程 皮托管 空气动力学

下記の文章はベルヌイの式とその応用としてピトー管による速度計測の原理について述べたものである。文章中の空欄（A）〜（G）に適切な式をいれ、空欄｛ア｝〜｛ウ｝に当てはまる内容を下記の解答群から選びなさい。

定常流において流線にそってエネルギーの保存則を適用すると、単位質量について、速度 $U$ の運動エネルギーは (A)、重力 $g$ のもとでの高さ $z$ の位置エネルギーは (B)、定積比熱 $c_v$ と絶対温度 $T$ より内部エネルギーは (C)、また、流管の両端に働く圧力仕事は圧力 $p$、密度 $\rho$ より (D) と与えられ、外部からのエネルギー供給がなければ、これらの和からベルヌイの式
(A) + (B) + (C) + (D) = 定数 (1)
を得る。
ここで、一様な流れの中に置いた物体を考えると、流れは物体の前でせき止められ（図1）、特に一つの流線には物体上で速度0の淀み点を生じる。この流線にベルヌイの式を適用する。液体の流れでは一般に密度 $\rho$ の変化が無視でき、摩擦損失の効果も小さいとして項 ｛ア｝ を省くと、上流圧力 $p_1$ と淀み点圧力 $p_0$ から一様流の速度は
$U_1=$ (E) (2)
と求められる。ここで、計測点の高さは等しいとした。
一方、気体の場合で速度が大きいときは密度変化が無視できない。このとき、流線に沿って等エントロピー変化を仮定すれば圧力と密度の関係は
(F) = 一定（比熱比 $\kappa$）
と表され、式(1)中のエンタルピーは
｛イ｝ = (G) = $c_{p}T$ （$c_p$ : 定圧比熱） (3)
と書き直せる。
さらに高速の気流では物体前方に衝撃波を生じる（図2）。衝撃波の前後では等エントロピー変化の仮定が成り立たず、式(1)と(2)より得る一様流の全圧 $p_0$ は物体上の淀み点圧力 $p_0^{\prime }$ に対して ｛ウ｝ となる。

空欄｛ア｝〜｛ウ｝の解答群（解答例： ｛ア｝ 1.(A)）
｛ア｝ 1. (A)、 2. (B)、 3. (C)、 4. (D)
｛イ｝ 1. (A)+(C)、 2. (A)+(D)、 3. (C)+(D)、 4. (B)+(C)
｛ウ｝ 1. $p_0=p_0^{\prime }$、 2. $p_0<p_0^{\prime }$、 3. $p_0>p_0^{\prime }$

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解答：

$$\boxed{\text{(A) }\frac{1}{2}{U}^2\text{(B) }gz\text{(C) }{c}_{v}T\text{(D) }\frac{p}{\rho }}$$ $$\boxed{\text{(E) }\sqrt{\frac{2(p_0-p_1)}{\rho }}\text{(F) }\frac{p}{{\rho }^{\kappa }}\text{(G) }{c}_{v}T+\frac{p}{\rho }}$$ $$\boxed{\text{ {ア} }3\text{ {イ} }3\text{ {ウ} }3}$$

(A)〜(D) 単位質量あたりのエネルギー

• (A) 運動エネルギー: $E_k=\frac{1}{2}{U}^2$
• (B) 位置エネルギー: $E_p=gz$
• (C) 内部エネルギー: $u=c_{v}T$
• (D) 圧力仕事（流動仕事）: 単位質量あたりの体積 $v=\frac{1}{\rho }$ より，$W=pv=\frac{p}{\rho }$

{ア} および (E) 非圧縮性流体・非粘性流体

• 液体で密度 $\rho$ が一定，摩擦損失（発熱）がないと仮定すると，温度 $T$ は一定となる。したがって，内部エネルギー項 (C) の変化はゼロとなり無視できる。
  $\therefore \text{{ア}}=3$
• 上流（状態1）と淀み点（状態0）において式(1)を適用する。
  条件: $U_0=0,z_1=z_0,{\rho }_1={\rho }_0=\rho$
  $\frac{1}{2}{U}_1^2+g{z}_1+\frac{p_1}{\rho }=\frac{1}{2}(0{)}^2+g{z}_0+\frac{p_0}{\rho }$
  $\frac{1}{2}{U}_1^2=\frac{p_0-p_1}{\rho }$
  $\therefore U_1=\sqrt{\frac{2(p_0-p_1)}{\rho }}$

(F), {イ}, (G) 圧縮性流体とエンタルピー

• (F) 等エントロピー変化（ポアソンの法則）:
  $\frac{p}{{\rho }^{\kappa }}=\text{一定}$
• {イ}, (G) エンタルピー $h$ の定義は，内部エネルギーと圧力仕事の和である。
  $\therefore \text{{イ}}=3\text{((C)+(D))}$
  理想気体の状態方程式 $\frac{p}{\rho }=RT$ およびマイヤーの関係式 $c_p=c_v+R$ より：
  $h=c_{v}T+\frac{p}{\rho }=c_{v}T+RT=(c_v+R)T=c_{p}T$
  $\therefore \text{(G)}=c_{v}T+\frac{p}{\rho }$

{ウ} 衝撃波による全圧損失

• 衝撃波を通過する流れは強い非可逆過程（エントロピー増大）を伴う。
• 力学的エネルギーの一部が熱エネルギーに散逸するため，よどみ点における全圧（等エントロピー変化を仮定した場合の理論的な最大圧力 $p_0$）は，実際の淀み点圧力 $p_0^{\prime }$ に比べて大きくなる。
  $\therefore p_0>p_0^{\prime }\Rightarrow \text{{ウ}}=3$

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本题主要考察流体力学中沿流线能量守恒的伯努利方程及其在皮托管测速中的实际应用。首先根据能量守恒原理，单位质量流体的总能量由动能、重力势能、内能以及流动功也就是压力做功组成。对于不可压缩的液体流动，由于密度基本不变且忽略摩擦带来的热耗散，温度保持恒定，因此在伯努利方程中可以省去内能项。利用简化后的伯努利方程，结合高度不变的条件，即可通过驻点压力和自由流静压推导出上游的流速。当流速增加进入气体可压缩范畴时，需假定等熵过程进行分析，此时内能与流动功之和构成了流体的焓。在超音速飞行时物体前方会出现激波，经过激波后流体会发生不可逆的熵增，导致气流的总压下降，因此基于等熵假设推导出的理论总压会大于实际在激波后方测得的驻点压力。