0038-2001 东大工 数学 P37

常微分方程 线性代数 多元微积分

$xy$ 平面上に $2$ 次元ベクトル $\mathbf{w}=(u,v)$ が分布しているものとする。図中の四辺形 OPQR の頂点の座標を，$O(0,0)$，$P(1,0)$，$Q(1,1)$，$R(0,1)$ とする。また，四辺形 OPQR の頂点上のベクトルを，${\mathbf{w}}_O=(-2,-2),{\mathbf{w}}_P=(1,-1),{\mathbf{w}}_Q=(1,1),{\mathbf{w}}_R=(-1,1)$ とする。

(1) 四辺形 OPQR 内のベクトル $\mathbf{w}$ を頂点上のベクトルを補間することによって求めよ。
ただし，補間には，$u(x,y)=a_0+a_{1}x+a_{2}y+a_{3}xy,v(x,y)=b_0+b_{1}x+b_{2}y+b_{3}xy$ で定義される関数を用いること。

(2) 四辺形 OPQR 内で，$\mathbf{w}=0$ となる点の座標を求めよ。

(3) $\mathbf{w}=0$ となる点が原点となるように $x$ 軸，$y$ 軸を平行移動して，それぞれ $X$ 軸，$Y$ 軸とする。あるパラメータ $t$ に対して，$X=X(t)$，$Y=Y(t)$ とする。$X,Y$ で表した上記 (1) のベクトル $\mathbf{w}$ の成分を用いて $\frac{dX}{dt}=u$, $\frac{dY}{dt}=v$ とすれば，四辺形 OPQR 内で $X(t),Y(t)$ に対する連立微分方程式を作ることができる。これを記せ。

(4) 上記 (3) で得られた連立微分方程式で $XY$ の項を無視すると，$\frac{d}{dt}\left[\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right]=A\left[\begin{array}{c}X\\ Y\end{array}\right]$ と線形化できる。行列 $A$ のすべての固有値と固有ベクトルを求めよ。

(5) 上記 (4) の微分方程式の解の $XY$ 平面の原点近傍における様子を下図の中から一つ選べ。

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解答：

(1)
各頂点の条件より、

$$u(0,0)=a_0=-2$$ $$\begin{array}{rl}u(1,0)& =a_0+a_1=1\\ ⟹a_1& =3\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}u(0,1)& =a_0+a_2=-1\\ ⟹a_2& =1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}u(1,1)& =a_0+a_1+a_2+a_3=1\\ ⟹a_3& =-1\end{array}$$ $$v(0,0)=b_0=-2$$ $$\begin{array}{rl}v(1,0)& =b_0+b_1=-1\\ ⟹b_1& =1\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}v(0,1)& =b_0+b_2=1\\ ⟹b_2& =3\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}v(1,1)& =b_0+b_1+b_2+b_3=1\\ ⟹b_3& =-1\end{array}$$ $$\boxed{\{\begin{array}{l}u(x,y)=-2+3x+y-xy\\ v(x,y)=-2+x+3y-xy\end{array}}$$

(2)

$$\{\begin{array}{l}-2+3x+y-xy=0\\ -2+x+3y-xy=0\end{array}$$

差をとると、$2x-2y=0⟹x=y$
代入して、$-2+4x-x^2=0⟹x^2-4x+2=0⟹x=2\pm \sqrt{2}$
$0\le x\le 1,0\le y\le 1$ より、

$$\boxed{(2-\sqrt{2},2-\sqrt{2})}$$

(3)
$x_0=2-\sqrt{2}$ とおく。$X=x-x_0,Y=y-x_0$ であり、$x_0^2-4x_0+2=0$ を満たす。

$$\begin{array}{rl}u& =-2+3(X+x_0)+(Y+x_0)-(X+x_0)(Y+x_0)\\ & =(3-x_0)X+(1-x_0)Y-XY\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}v& =-2+(X+x_0)+3(Y+x_0)-(X+x_0)(Y+x_0)\\ & =(1-x_0)X+(3-x_0)Y-XY\end{array}$$

$3-x_0=1+\sqrt{2},1-x_0=-1+\sqrt{2}$ であるため、

$$\boxed{\{\begin{array}{l}\frac{dX}{dt}=(1+\sqrt{2})X+(-1+\sqrt{2})Y-XY\\ \frac{dY}{dt}=(-1+\sqrt{2})X+(1+\sqrt{2})Y-XY\end{array}}$$

(4)

$$A=\left[\begin{array}{cc}1+\sqrt{2}& -1+\sqrt{2}\\ -1+\sqrt{2}& 1+\sqrt{2}\end{array}\right]$$

固有多項式: $\det (A-\lambda I)=(1+\sqrt{2}-\lambda {)}^2-(-1+\sqrt{2}{)}^2=0$

$$\begin{array}{rl}\lambda -(1+\sqrt{2})& =\pm (-1+\sqrt{2})\\ ⟹\lambda & =2\sqrt{2},2\end{array}$$

$\lambda =2\sqrt{2}$ のとき、$(1-\sqrt{2})X+(-1+\sqrt{2})Y=0⟹X=Y$
$\lambda =2$ のとき、$(-1+\sqrt{2})X+(-1+\sqrt{2})Y=0⟹X=-Y$

固有値: $\boxed{2,2\sqrt{2}}$
固有ベクトル: $\boxed{c_1\left[\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right],c_2\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right](c_1,c_2\ne 0)}$

(5)
固有値がともに正の実数であるため、原点は不安定結節点（湧き出し）となる。

$$\boxed{\text{(c)}}$$

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本题考察了双线性插值、非线性微分方程组的局部线性化及其相图分析。第一问通过代入四个顶点的坐标与对应的向量分量，解出多项式的系数。第二问让向量分量为零，联立方程组并结合区域边界条件求出不动点（平衡点）的坐标。第三问要求进行坐标平移，将求出的不动点平移至坐标原点，利用配方化简消除常数项即可得到由大写字母 X 和 Y 表达的新方程组。第四问则是提取平衡点处雅可比矩阵（即忽略高次项后的线性部分），通过求特征多项式的根来得到特征值，进而解出对应的特征向量。第五问根据求出的两个正实数特征值，判断出该临界点为不稳定的节点（源点），意味着相图中的所有轨迹都会顺着两个特征向量的方向背离原点向外发散，观察选项即可确定对应的图形。