0037-2001 东大工 数学 P36

概率统计 概率论 空间向量 微积分

原点を中心とした半径1の球面上の点を一様にランダムに選ぶことを$k$回繰り返す。それらの点の位置ベクトルを${\mathbf{p}}_1,{\mathbf{p}}_2,\cdots ,{\mathbf{p}}_k$とする。

(1) $\sum _{i<j}|{\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_j{|}^2$の期待値を求めよ。

(2) 内積${\mathbf{p}}_1\cdot {\mathbf{p}}_2$の確率分布が区間$[-1,1]$の一様分布となることを示せ。

(3) ${\mathbf{p}}_1\cdot {\mathbf{p}}_2=t$のとき、$|{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_2|$を$t$で表せ。

(4) $\sum _{i<j}|{\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_j|$の期待値を求めよ。

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解答：

(1)
各${\mathbf{p}}_i$は独立に一様分布に従うため、$E[{\mathbf{p}}_i]=0$。
$i\ne j$のとき、$E[{\mathbf{p}}_i\cdot {\mathbf{p}}_j]=E[{\mathbf{p}}_i]\cdot E[{\mathbf{p}}_j]=0$。
$|{\mathbf{p}}_i|=1$より、

$$\begin{array}{rl}E[|{\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_j{|}^2]& =E[|{\mathbf{p}}_i{|}^2-2{\mathbf{p}}_i\cdot {\mathbf{p}}_j+|{\mathbf{p}}_j{|}^2]\\ & =1-0+1\\ & =2\end{array}$$

項数は$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{2}\right)=\frac{k(k-1)}{2}$であるため、

$$\begin{array}{rl}E\left[\sum _{i<j}|{\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_j{|}^2\right]& =\sum _{i<j}E[|{\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_j{|}^2]\\ & =2\times \frac{k(k-1)}{2}\\ & =k(k-1)\end{array}$$ $$\boxed{k(k-1)}$$

(2)
対称性より、${\mathbf{p}}_1=(0,0,1)$としても一般性を失わない。
極座標表示を用いて${\mathbf{p}}_2=(\sin \theta \cos \varphi ,\sin \theta \sin \varphi ,\cos \theta )$ $(0\le \theta \le \pi ,0\le \varphi <2\pi )$ とおくと、${\mathbf{p}}_1\cdot {\mathbf{p}}_2=\cos \theta$。
球面の微小面積要素は$d\Omega =\sin \theta d\theta d\varphi$であり、全立体角は$4\pi$であるから、結合確率密度関数は$p(\theta ,\varphi )=\frac{1}{4\pi }$。
$t=\cos \theta$とすると、$dt=-\sin \theta d\theta$。$t\in [-1,1]$に対する確率密度関数$f(t)$は、

$$\begin{array}{rl}f(t)dt& ={\int }_0^{2\pi }p(\theta \varphi )d\varphi |d\theta |\\ & =\frac{1}{4\pi }\cdot 2\pi \cdot \left|\frac{dt}{-\sin \theta }\right|\sin \theta \\ & =\frac{1}{2}dt\end{array}$$

よって、$f(t)=\frac{1}{2}$ ($-1\le t\le 1$) となり、区間$[-1,1]$の一様分布となる。(証明終)

(3)

$$\begin{array}{rl}|{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_2{|}^2& =|{\mathbf{p}}_1{|}^2-2{\mathbf{p}}_1\cdot {\mathbf{p}}_2+|{\mathbf{p}}_2{|}^2\\ & =1-2t+1\\ & =2-2t\end{array}$$

$|{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_2|\ge 0$より、

$$\boxed{|{\mathbf{p}}_1-{\mathbf{p}}_2|=\sqrt{2-2t}}$$

(4)
(2)および(3)より、$t={\mathbf{p}}_i\cdot {\mathbf{p}}_j\sim U(-1,1)$であるから、

$$\begin{array}{rl}E[|{\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_j|]& ={\int }_{-1}^1\sqrt{2-2t}\cdot \frac{1}{2}dt\\ & ={\left[-\frac{1}{6}(2-2t{)}^{\frac{3}{2}}\right]}_{-1}^1\\ & =0-\left(-\frac{1}{6}\cdot 4^{\frac{3}{2}}\right)\\ & =\frac{8}{6}\\ & =\frac{4}{3}\end{array}$$

したがって、

$$\begin{array}{rl}E\left[\sum _{i<j}|{\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_j|\right]& =\sum _{i<j}E[|{\mathbf{p}}_i-{\mathbf{p}}_j|]\\ & =\frac{k(k-1)}{2}\times \frac{4}{3}\\ & =\frac{2}{3}k(k-1)\end{array}$$ $$\boxed{\frac{2}{3}k(k-1)}$$

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这道题综合考察了空间向量的代数运算与多重积分中的几何概率计算。第一问由于各个点是在球面上独立均匀选取的，其中心极限定位在原点，因此不同点向量之间的内积期望值为零，直接展开平方项求期望即可。第二问是这道题的核心，其实际上反映了三维单位球面上的点投影到任意一直径（或说点的某一个直角坐标分量）上的分布是均匀分布的，证明时只需要通过球坐标系下的雅可比行列式换元并积分求出边缘密度函数即可。后面的第三、四问则是基于前两问结论的顺水推舟，将求解空间两点距离期望的复杂问题转化为了对一元均匀分布进行积分的简单微积分计算。