0035-2001 东大工 数学 P34

傅里叶与拉普拉斯变换 高等数学 拉普拉斯变换

原関数 $f(t)$ をラプラス変換した像関数を $F(s)=L[f(t)]={\int }_0^{\infty }f(t)e^{-st}dt$ と書くことにする。

(1) 像関数 $F(s)=\frac{1}{s(s^2-1)}$ のとき、原関数 $f(t)$ を求めよ。

(2) $f(t)$ が下図のような関数のとき、その像関数 $F(s)=L[f(t)]$ を求めよ。

(3) $g(t)$ が下図のような関数のとき、その像関数 $G(s)=L[g(t)]$ を求めよ。

(4) $g(t)$ を上記 (3) で定義された関数とするとき、

$$f(t)+{\int }_0^{t}f(\tau )d\tau =g(t)$$

となる $f(t)$ のラプラス変換 $F(s)=L[f(t)]$ を求めよ。

(5) 上記 (4) の $f(t)$ を式で表すとともに図示せよ。

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解答：

(1)

$$\begin{array}{rl}F(s)& =\frac{1}{s(s-1)(s+1)}\\ & =-\frac{1}{s}+\frac{1}{2(s-1)}+\frac{1}{2(s+1)}\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}f(t)& =L^{-1}[F(s)]\\ & =\boxed{-1+\frac{1}{2}{e}^t+\frac{1}{2}{e}^{-t}}(\text{または }\boxed{\cosh t-1})\end{array}$$

(2)

$$f(t)=u(t-1)(u(t)\text{は単位ステップ関数})$$ $$\begin{array}{rl}F(s)& ={\int }_1^{\infty }{e}^{-st}dt\\ & ={\left[-\frac{1}{s}{e}^{-st}\right]}_1^{\infty }\\ & =\boxed{\frac{e^{-s}}{s}}\end{array}$$

(3)

$$g(t)=u(t)-u(t-1)$$ $$\begin{array}{rl}G(s)& =L[u(t)]-L[u(t-1)]\\ & =\boxed{\frac{1-e^{-s}}{s}}\end{array}$$

(4)

$$L[f(t)]+L\left[{\int }_0^{t}f(\tau )d\tau \right]=L[g(t)]$$ $$F(s)+\frac{1}{s}F(s)=\frac{1-e^{-s}}{s}$$ $$\frac{s+1}{s}F(s)=\frac{1-e^{-s}}{s}$$ $$F(s)=\boxed{\frac{1-e^{-s}}{s+1}}$$

(5)

$$F(s)=\frac{1}{s+1}-\frac{e^{-s}}{s+1}$$ $$f(t)=e^{-t}u(t)-e^{-(t-1)}u(t-1)$$

式：

$$\boxed{f(t)=\{\begin{array}{ll}{e}^{-t}& (0\le t<1)\\ e^{-t}-e^{-(t-1)}& (t\ge 1)\end{array}}$$

図示の概略：
$t=0$ で $f(0)=1$ から始まり、指数関数的に減少する。$t\to 1-0$ で $f(t)\to 1/e$。
$t=1$ において不連続となり、値が $-1$ シフトして $1/e-1$ となる。
$t\ge 1$ では負の値を取り、そのまま $t\to \infty$ で漸近的に $0$ へ近づく曲線となる。

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本题考查了拉普拉斯变换的基本计算以及其在求解积分方程中的应用。第一小题直接使用部分分式展开即可求出原函数，结果也可以结合双曲余弦函数的定义来表达。第二和第三小题考察了单位阶跃函数的拉普拉斯变换，利用定义式直接积分或者运用第二平移定理（延迟定理）都能轻松得到结果。第四小题是典型的含积分项的方程，根据拉普拉斯变换的积分性质，对原函数的积分进行变换相当于对其变换结果除以s，代入第三问的结论后通过简单的代数化简即可得到F(s)。最后第五小题需要进行拉普拉斯逆变换，利用第二平移定理处理含有指数项的部分，最后将其写成分段函数的形式。在绘制图象时，需要注意t=1处存在一个大小为-1的跳跃间断点，两段均为衰减的指数曲线。