0034-2001 东大工 数学 P33

向量分析 高等数学 向量代数与空间解析几何 场论

$\mathbf{A}$は以下に表す3次元のベクトル場である。

$$\mathbf{A}=A_1(x,y,z)\mathbf{i}+A_2(x,y,z)\mathbf{j}+A_3(x,y,z)\mathbf{k}$$

ここで，$\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}$はそれぞれ$x,y,z$方向の単位ベクトルである。このとき，以下の問いに答えよ。

(1) $\mathrm{rot}\mathbf{A}=0$のとき，

$$f(x,y,z)={\int }_{x_0}^x{A}_1(\xi ,y_0,z_0)d\xi +{\int }_{y_0}^y{A}_2(x,\eta ,z_0)d\eta +{\int }_{z_0}^z{A}_3(x,y,\zeta )d\zeta$$

は，$\mathrm{grad}f=\mathbf{A}$を満たすことを示せ。

(2) $\mathbf{A}=(axy+z^3)\mathbf{i}+(3x^2-2z)\mathbf{j}+(3x{z}^2-2y)\mathbf{k}$ のとき，$\mathrm{rot}\mathbf{A}$を求めよ。ただし，$a$は定数とする。

(3) $a=6$のとき，$\mathrm{grad}\phi =\mathbf{A}$となる関数$\phi (x,y,z)$を求めよ。ただし，$\phi (0,0,0)=0$とする。

---

解答：

(1) $\mathrm{rot}\mathbf{A}=0$ より、

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial A_3}{\partial y}& =\frac{\partial A_2}{\partial z}\frac{\partial A_1}{\partial z}\\ & =\frac{\partial A_3}{\partial x}\frac{\partial A_2}{\partial x}\\ & =\frac{\partial A_1}{\partial y}\end{array}$$

$f(x,y,z)$ を $z,y,x$ でそれぞれ偏微分する。

$$\frac{\partial f}{\partial z}=A_3(x,y,z)$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\partial f}{\partial y}& =A_2(x,y,z_0)+{\int }_{z_0}^z\frac{\partial A_3(x,y,\zeta )}{\partial y}d\zeta \\ & =A_2(x,y,z_0)+{\int }_{z_0}^z\frac{\partial A_2(x,y,\zeta )}{\partial \zeta }d\zeta \end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& =A_2(x,y,z_0)+[A_2(x,y,\zeta ){]}_{z_0}^z\\ & =A_2(x,y,z)\end{array}$$ $$\frac{\partial f}{\partial x}=A_1(x,y_0,z_0)+{\int }_{y_0}^y\frac{\partial A_2(x,\eta ,z_0)}{\partial x}d\eta +{\int }_{z_0}^z\frac{\partial A_3(x,y,\zeta )}{\partial x}d\zeta$$ $$=A_1(x,y_0,z_0)+{\int }_{y_0}^y\frac{\partial A_1(x,\eta ,z_0)}{\partial \eta }d\eta +{\int }_{z_0}^z\frac{\partial A_1(x,y,\zeta )}{\partial \zeta }d\zeta$$ $$=A_1(x,y_0,z_0)+[A_1(x,\eta ,z_0){]}_{y_0}^y+[A_1(x,y,\zeta ){]}_{z_0}^z$$ $$\begin{array}{rl}& =A_1(x,y_0,z_0)+A_1(x,y,z_0)-A_1(x,y_0,z_0)+A_1(x,y,z)-A_1(x,y,z_0)\\ & =A_1(x,y,z)\end{array}$$

よって、$\mathrm{grad}f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y},\frac{\partial f}{\partial z}\right)=(A_1,A_2,A_3)=\mathbf{A}$ となる。 (証明終)

(2)

$$\begin{array}{rl}\mathrm{rot}\mathbf{A}& =\nabla \times \mathbf{A}\\ & =\left(\frac{\partial A_3}{\partial y}-\frac{\partial A_2}{\partial z}\right)\mathbf{i}+\left(\frac{\partial A_1}{\partial z}-\frac{\partial A_3}{\partial x}\right)\mathbf{j}+\left(\frac{\partial A_2}{\partial x}-\frac{\partial A_1}{\partial y}\right)\mathbf{k}\end{array}$$ $$=(-2-(-2))\mathbf{i}+(3z^2-3z^2)\mathbf{j}+(6x-ax)\mathbf{k}$$ $$\boxed{\mathrm{rot}\mathbf{A}=(6-a)x\mathbf{k}}$$

(3) $a=6$ のとき、(2)より $\mathrm{rot}\mathbf{A}=0$ となるため、ポテンシャル関数 $\phi$ が存在する。

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \phi }{\partial x}& =6xy+z^3\\ ⟹\phi (x,y,z)& =3x^{2}y+x{z}^3+g(y,z)\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}\frac{\partial \phi }{\partial y}& =3x^2+\frac{\partial g}{\partial y}=3x^2-2z\\ ⟹\frac{\partial g}{\partial y}& =-2z\\ ⟹g(yz)& =-2yz+h(z)\end{array}$$

よって、$\phi (x,y,z)=3x^{2}y+x{z}^3-2yz+h(z)$

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial \phi }{\partial z}& =3x{z}^2-2y+h^{\prime }(z)=3x{z}^2-2y\\ ⟹h^{\prime }(z)& =0\\ ⟹h(z)& =C(\text{定数})\end{array}$$ $$\phi (x,y,z)=3x^{2}y+x{z}^3-2yz+C$$

$\phi (0,0,0)=0$ より $C=0$。

$$\boxed{\phi (x,y,z)=3x^{2}y+x{z}^3-2yz}$$

---

这道题主要考察了向量场中无旋场和势函数的关系。第一问实际上就是线积分与路径无关时，原函数的折线积分求法证明。因为旋度为零，各个偏导数之间满足交叉相等的对称关系，利用微积分基本定理进行变量替换就可以轻松证明其梯度就是原来的向量场。第二问和第三问则是这一理论的具体计算应用。在第三问中，通过依次对偏导数进行积分并确定常数项函数，可以逐步还原出标量势函数，这也是求解恰当方程或原函数的标准操作方法，最后代入初始条件确定常数即可。