0033-2001 东大工 数学 P32

线性代数 特征值与特征向量 正交矩阵 二次型

(1) 次の対称行列 $A$ のすべての固有値と固有ベクトルを求めよ。

$$A=\left(\begin{array}{ccc}1& 1& 3\\ 1& 5& 1\\ 3& 1& 1\end{array}\right)$$

(2) $\Lambda =V^{T}AV$ と表したときの $\Lambda$ が対角行列となる直交行列 $V$ と $\Lambda$ を求めよ。ただし、$V^T$ は $V$ の転置行列を表す。

(3) 2次形式 $Q=x_1^2+5x_2^2+x_3^2+2x_1{x}_2+6x_1{x}_3+2x_2{x}_3$ を直交行列 $P$ による1次変換，

$$\left(\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\\ y_3\end{array}\right)=P\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$$

を用いて $Q=a_1{y}_1^2+a_2{y}_2^2+a_3{y}_3^2$ に変換する。このときの $P$ と定数 $a_1,a_2,a_3$ を求めよ。

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解答：

(1)

$$\begin{array}{rl}|\lambda I-A|& =\left|\begin{array}{ccccccc}\lambda -1& -1& -3-1& \lambda -5& -1-3& -1& \lambda -1\end{array}\right|\\ & =(\lambda +2)(\lambda -3)(\lambda -6)\\ & =0\end{array}$$ $$\lambda =-2,3,6$$

$\lambda =-2$ のとき、$(-2I-A)x=0$ より $x=c_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right)(c_1\ne 0)$
$\lambda =3$ のとき、$(3I-A)x=0$ より $x=c_2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right)(c_2\ne 0)$
$\lambda =6$ のとき、$(6I-A)x=0$ より $x=c_3\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)(c_3\ne 0)$

$$\boxed{\text{固有値 }-2,3,6;\text{ 固有ベクトル }{c}_1\left(\begin{array}{c}1\\ 0\\ -1\end{array}\right),c_2\left(\begin{array}{c}1\\ -1\\ 1\end{array}\right),c_3\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 1\end{array}\right)(c_1,c_2,c_3\ne 0)}$$

(2)
固有ベクトルを正規化して直交行列 $V$ を構成する。

$$\begin{array}{rl}{v}_1& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{c}10-1\end{array}\right)v_2\\ & =\frac{1}{\sqrt{3}}\left(\begin{array}{c}1-11\end{array}\right)v_3\\ & =\frac{1}{\sqrt{6}}\left(\begin{array}{c}121\end{array}\right)\end{array}$$ $$\boxed{V=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\\ 0& -\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{2}{\sqrt{6}}\\ -\frac{1}{\sqrt{2}}& \frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right),\Lambda =\left(\begin{array}{ccc}-2& 0& 0\\ 0& 3& 0\\ 0& 0& 6\end{array}\right)}$$

(3)
$x=\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)$ とおくと $Q=x^{T}Ax$。
$y=Px$ および $P^T=P^{-1}$ より $x=P^{T}y$。

$$Q=(P^{T}y{)}^{T}A(P^{T}y)=y^T(PA{P}^T)y$$

$PA{P}^T$ が対角行列 $\Lambda$ となるように $P=V^T$ とおくと、$PA{P}^T=V^{T}AV=\Lambda$ を満たす。
このとき $Q=-2y_1^2+3y_2^2+6y_3^2$ となる。

$$\boxed{P=\left(\begin{array}{ccc}\frac{1}{\sqrt{2}}& 0& -\frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{3}}& -\frac{1}{\sqrt{3}}& \frac{1}{\sqrt{3}}\\ \frac{1}{\sqrt{6}}& \frac{2}{\sqrt{6}}& \frac{1}{\sqrt{6}}\end{array}\right),a_1=-2,a_2=3,a_3=6}$$

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本题主要考察了实对称矩阵的对角化以及二次型的标准化。在第一问中，通过常规方法求解特征方程得到特征值，并代回原矩阵求得对应的特征向量。第二问中，利用了实对称矩阵不同特征值对应的特征向量相互正交这一性质，直接将其单位化即可得到正交矩阵V，从而将原矩阵对角化。第三问结合了二次型的矩阵表示形式，通过变量代换推导出要求的转换矩阵P实际上就是第二问中正交矩阵V的转置矩阵，而转化后的二次型各项系数对应着对角阵里的各个特征值。