0031-2000 东大工 机械 P29

振动学 机械振动 参数辨识

下記の推定問題に答えよ。この際：
推定した数値は$a\times 10^b$ [単位]（ここで$a,b$は整数）の形で、すなわち、SIの単位を付した有効数字1桁の形で答えよ。
推定の数値を算出した根拠も必ず記述すること。

図1の振動系で、静止している質量$m$に$x$方向にインパルス $F$ $[N\cdot sec]$ を与えたところ、図2の時間応答を得た。また質量$m$に静的に$x$方向に $8$ $[N]$の力を加えたところ、$0.1$ $[m]$ たわんだ。以上の情報から、インパルスの大きさ$F$、質量$m$、粘性減衰定数$c$、ばね定数$k$の四つの値を推定せよ。必要であれば、図3のグラフ$e^{-t}$を使用せよ。

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解答：

ばね定数 $k$:
静的たわみの関係より、

$$k=\frac{8}{0.1}=80$$ $$\boxed{k=8\times 10^1\text{ [N/m]}}$$

減衰係数 $\alpha$ と減衰角振動数 ${\omega }_d$:
図2より、包絡線 $x(t)=X_0{e}^{-\alpha t}$ は $t=0$ で $X_0=0.125\text{ m}$、$t=1.5\text{ s}$ で $0.075\text{ m}$ を通る。

$$\frac{x(1.5)}{X_0}=\frac{0.075}{0.125}=0.6$$

図3の $e^{-t}$ グラフより $e^{-0.5}\approx 0.6$ であるため、

$$\begin{array}{rl}1.5\alpha & =0.5\\ ⟹\alpha & =\frac{1}{3}\text{ [rad/s]}\end{array}$$

図2のゼロ交差が $t=1.5,3.0,4.5\text{ s}$ より、減衰周期 $T_d=3.0\text{ s}$。

$$\begin{array}{rl}{\omega }_d& =\frac{2\pi }{T_d}\\ & =\frac{2\pi }{3}\\ & \approx 2\text{ [rad/s]}\end{array}$$

質量 $m$:
固有角振動数 ${\omega }_n$ は、

$$\begin{array}{rl}{\omega }_n^2& ={\omega }_d^2+{\alpha }^2\\ & \approx 2^2+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2\\ & \approx 4{\text{ [(rad/s)}}^2\text{]}\end{array}$$

$k=m{\omega }_n^2$ より、

$$m=\frac{k}{{\omega }_n^2}\approx \frac{80}{4}=20$$ $$\boxed{m=2\times 10^1\text{ [kg]}}$$

粘性減衰定数 $c$:
$\alpha =\frac{c}{2m}$ より、

$$\begin{array}{rl}c& =2m\alpha \\ & \approx 2\times 20\times \frac{1}{3}\\ & =13.3\end{array}$$

有効数字1桁として、

$$\boxed{c=1\times 10^1\text{ [Ns/m]}}$$

インパルスの大きさ $F$:
インパルス応答の振幅 $X_0=\frac{F}{m{\omega }_d}$ より、

$$\begin{array}{rl}F& =X_{0}m{\omega }_d\\ & \approx 0.125\times 20\times 2\\ & =5\end{array}$$ $$\boxed{F=5\times 10^0\text{ [Ns]}}$$

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补充说明：
本题考查单自由度阻尼振动系统的参数辨识。通过静力加载条件可以最先确定弹簧刚度。观察自由振动响应曲线，利用零交点的时间间隔确定阻尼振荡周期和阻尼固有频率；利用包络线的衰减程度结合提供的指数函数参考图确定衰减系数。有了阻尼固有频率和衰减系数，即可近似算出无阻尼固有频率，进而求得质量和粘性阻尼系数。最后，根据初始时刻的包络线振幅与脉冲激励的关系式逆推得出输入的冲量大小。计算中需要进行适度近似以满足最终结果仅保留一位有效数字的要求。