0029-2000 东大工 机械 P27

材料力学 弹性力学 胡克定律

上図1のように，剛性の天井からバネ定数$k$のバネで吊るされた剛性の板と一辺の長さが$a$の立方体がある．バネに力が働いていない状態で，剛性床と剛性板下面の距離は$a-c$ ($<a$) である．立方体は縦弾性係数$E$，ポアソン比$\nu$の線形弾性体であるとして以下の問に答えよ．ただし，剛性板および床と立方体の間の摩擦は無視でき，また，剛性板の自重も無視できるものとする．なお，座標系は上図の通りとする ($z$軸は紙面に垂直)．

(1) 図2のように，剛性板と床の間に立方体を挿入したところ，立方体の$y$方向の長さが$a-{\delta }_1$になった．${\delta }_1$を求めよ．
(2) 図3のように，さらに$x$方向に力$P$を作用させたところ，立方体の$y$方向の長さが$a-{\delta }_2$になった．剛体板と立方体は接触しているものとして，${\delta }_2$を求めよ．
(3) このとき，剛性板と立方体の間に生じている力$Q$を求めよ．
(4) 力$P$を徐々に大きくしていくと，ある力$P=P_{cr}$において立方体と剛性板が離れた．力$P_{cr}$を求めよ．

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解答：

(1)
立方体の$y$方向の圧縮変位は ${\delta }_1$ であるため、$y$方向のひずみは ${\epsilon }_y=-\frac{{\delta }_1}{a}$ となる。
摩擦が無視できるため、$x,z$方向の応力は ${\sigma }_x={\sigma }_z=0$ である。
フックの法則より、${\sigma }_y=E{\epsilon }_y=-E\frac{{\delta }_1}{a}$。
立方体が剛性板から受ける圧縮力は $F_c=-{\sigma }_y{a}^2=Ea{\delta }_1$。
剛性板の変位は上方へ $({\delta }_1-c)$ であるため、バネの圧縮力は $F_s=k({\delta }_1-c)$。
力の釣り合い $F_c=F_s$ より、

$$Ea{\delta }_1=k({\delta }_1-c)$$ $$\begin{array}{rl}(Ea-k){\delta }_1& =-kc\\ ⟹(k-Ea){\delta }_1& =kc\end{array}$$ $$\boxed{{\delta }_1=\frac{kc}{k-Ea}}$$

(注: 物理的に圧縮状態を保つためには $k>Ea$ が暗黙に仮定されている)

(2)
引張力 $P$ により $x$方向に一様な応力 ${\sigma }_x=\frac{P}{a^2}$ が生じる。$z$方向は自由なので ${\sigma }_z=0$。
$y$方向の圧縮変位は ${\delta }_2$ となるので、剛性板の変位は上方へ $({\delta }_2-c)$ となる。
バネから受ける圧縮力は $F_s=k({\delta }_2-c)$。
立方体の$y$方向の応力は ${\sigma }_y=-\frac{F_s}{a^2}=-\frac{k({\delta }_2-c)}{a^2}$。
一般化されたフックの法則より、$y$方向のひずみ ${\epsilon }_y$ は、

$$\begin{array}{rl}{\epsilon }_y& =\frac{1}{E}({\sigma }_y-\nu {\sigma }_x)\\ & =\frac{1}{E}\left(-\frac{k({\delta }_2-c)}{a^2}-\nu \frac{P}{a^2}\right)\end{array}$$

一方で、幾何学的条件より ${\epsilon }_y=-\frac{{\delta }_2}{a}$ であるから、

$$-\frac{{\delta }_2}{a}=\frac{1}{E{a}^2}\left(-k({\delta }_2-c)-\nu P\right)$$ $$-Ea{\delta }_2=-k{\delta }_2+kc-\nu P$$ $$(k-Ea){\delta }_2=kc-\nu P$$ $$\boxed{{\delta }_2=\frac{kc-\nu P}{k-Ea}}$$

(3)
剛性板と立方体の間に生じている力 $Q$ はバネの圧縮力 $F_s$ に等しい。

$$\begin{array}{rl}Q& =k({\delta }_2-c)\\ & =k\left(\frac{kc-\nu P}{k-Ea}-c\right)\\ & =k\left(\frac{kc-\nu P-kc+Eac}{k-Ea}\right)\end{array}$$ $$\boxed{Q=\frac{k(Eac-\nu P)}{k-Ea}}$$

(4)
立方体と剛性板が離れるとき、接触力 $Q=0$ となる。
(3)の結果より、

$$Eac-\nu P_{cr}=0$$ $$\boxed{P_{cr}=\frac{Eac}{\nu }}$$

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补充说明：
这道题考察了材料力学中的广义胡克定律以及超静定问题的受力分析。在第一问中，只有$y$方向存在应力，立方体和弹簧之间处于串联受压状态。利用变形协调条件：弹簧的压缩量加上立方体的压缩量等于初始间隙的减少量（也就是多出来的厚度c），结合两者的刚度本构方程就能解出压缩量。第二问引入了$x$方向的拉力，这会产生泊松效应，使得立方体在$y$方向产生收缩的趋势。此时需要应用广义胡克定律，将$x$方向和$y$方向的总应变。第三问直接把第二问求得的位移代入弹簧的作用力公式即可，接触力就是弹簧的压缩力。第四问的临界条件是接触力恰好减小到零，这意味着$x$方向拉力引发的泊松收缩恰好使得立方体的高度恢复到初始无应力状态时弹簧的高度，令第三问的结果为零即可解出临界拉力的大小。