0028-2000 东大工 机械 P26

流体力学 动量定理 角动量定理

下図のような軸対称ノズルから水平面内に周方向一様に密度 $\rho$ の液体が噴出している。各寸法と流入流量 $Q_{\text{in}}$ および流出角 ${\theta }_{\text{out}}$ が与えられたとき以下の量を算出せよ。ただし、流入部に旋回速度はなく、ノズル内の損失や粘性の影響は無視でき、流入、流出の各断面の速度分布は一様と仮定してよいものとする。

(1) 流出速度 $V_{\text{out}}$ の周方向成分
(2) ノズル部にかかる流体力およびトルク

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解答：

(1)
連続の式より、流入流量 $Q_{\text{in}}$ と流出流量 $Q_{\text{out}}$ は等しい。

$$Q_{\text{in}}=Q_{\text{out}}=Q$$

流出部での半径方向の速度成分を $V_{r,\text{out}}$ とすると、流出断面積は $\pi Dh$ であるため、

$$\begin{array}{rl}Q& =\pi Dh{V}_{r,\text{out}}\\ ⟹V_{r,\text{out}}& =\frac{Q}{\pi Dh}\end{array}$$

流出速度ベクトル ${\mathbf{V}}_{\text{out}}$ と半径方向のなす角が ${\theta }_{\text{out}}$ である。流出速度の周方向成分を $V_{\theta ,\text{out}}$ とすると、

$$\tan {\theta }_{\text{out}}=\frac{V_{\theta ,\text{out}}}{V_{r,\text{out}}}$$

したがって、

$$\boxed{V_{\theta ,\text{out}}=V_{r,\text{out}}\tan {\theta }_{\text{out}}=\frac{Q_{\text{in}}}{\pi Dh}\tan {\theta }_{\text{out}}}$$

(2)
[流体力]
コントロールボリュームをノズル内部の流体全体にとる。
流入部の断面積を $A_{\text{in}}=\frac{\pi }{4}{d}^2$、流入速度を $V_{\text{in}}=\frac{Q_{\text{in}}}{A_{\text{in}}}=\frac{4Q_{\text{in}}}{\pi d^2}$ (下向きを正とする) とする。
ベルヌーイの定理を流入部と流出部に適用する。ノズルは水平面内にあるため位置水頭の差は無視する。流出部の圧力 $P_{\text{out}}$ を大気圧（ゲージ圧 $0$）とすると、

$$P_{\text{in}}+\frac{1}{2}\rho V_{\text{in}}^2=P_{\text{out}}+\frac{1}{2}\rho V_{\text{out}}^2$$ $$P_{\text{in}}=\frac{1}{2}\rho (V_{\text{out}}^2-V_{\text{in}}^2)$$

ここで $V_{\text{out}}^2=V_{r,\text{out}}^2+V_{\theta ,\text{out}}^2={\left(\frac{Q_{\text{in}}}{\pi Dh}\right)}^2(1+{\tan }^2{\theta }_{\text{out}})={\left(\frac{Q_{\text{in}}}{\pi Dh\cos {\theta }_{\text{out}}}\right)}^2$。
鉛直方向（下向き正）の運動量方程式を立てる。流体がノズルから受ける力を $F_z$ とすると、

$$F_z+P_{\text{in}}{A}_{\text{in}}=\text{流出運動量（鉛直成分なし）}-\text{流入運動量}$$ $$F_z+P_{\text{in}}\frac{\pi d^2}{4}=0-\rho Q_{\text{in}}{V}_{\text{in}}$$ $$F_z=-P_{\text{in}}\frac{\pi d^2}{4}-\rho Q_{\text{in}}\frac{4Q_{\text{in}}}{\pi d^2}$$

作用反作用の法則により、ノズルが流体から受ける力 $R_z$ は $R_z=-F_z$。

$$R_z=P_{\text{in}}\frac{\pi d^2}{4}+\rho \frac{4Q_{\text{in}}^2}{\pi d^2}$$

水平方向については、軸対称に噴出しているため合力はゼロ。

$$\boxed{\text{流体力（上向き）: }{R}_z=\frac{\pi d^2}{8}\rho \left[{\left(\frac{Q_{\text{in}}}{\pi Dh\cos {\theta }_{\text{out}}}\right)}^2-{\left(\frac{4Q_{\text{in}}}{\pi d^2}\right)}^2\right]+\frac{4\rho Q_{\text{in}}^2}{\pi d^2}}$$

[トルク]
角運動量保存則（オイラーのタービン方程式）を用いる。
ノズルにかかるトルク $T$ は、流出する流体の角運動量の時間変化率に等しい（流入部の旋回はゼロ）。

$$T=\rho Q_{\text{in}}\times (\text{流出部の半径}\times \text{流出速度の周方向成分})$$

流出部の半径は $\frac{D}{2}$。

$$\begin{array}{rl}T& =\rho Q_{\text{in}}\frac{D}{2}{V}_{\theta ,\text{out}}\\ & =\rho Q_{\text{in}}\frac{D}{2}\left(\frac{Q_{\text{in}}}{\pi Dh}\tan {\theta }_{\text{out}}\right)\end{array}$$ $$\boxed{T=\frac{\rho Q_{\text{in}}^2}{2\pi h}\tan {\theta }_{\text{out}}}$$

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补充说明：
这道题考查流体力学中综合运用连续性方程、伯努利方程、动量定理和角动量定理的能力。第一问基于质量守恒（连续性方程），由给定的体积流量计算出出口处的径向速度，再结合几何关系中的流出角得到周向速度分量。第二问分为两部分。计算流体力时，选取喷嘴内流体为控制体，运用沿铅垂方向的动量定理。需要注意的是，入口处的压强未知，必须先通过伯努利方程联系入口和出口的流速与压强来求得（假定出口排出到大气，表压为零）。计算转矩时，直接应用角动量定理，转矩等于单位时间内流出控制体的角动量与流入控制体的角动量之差。因为入口处没有旋转速度，所以转矩完全由出口处的周向速度和出口半径的乘积决定。