0027-2000 东大工 机械 P25

流体力学 微积分

下図に示すように、間隔$h$の一組の平行平板の間が粘度$\mu$の非圧縮性ニュートン流体で満たされている。一様な$x$方向の圧力勾配$dp/dx=b$が存在し、平行平板の上板は$x$方向に速度$U$で動く。これらにより平面に平行で$z$方向には一様な、定常・層流の流れが生じているものとして、以下の設問に答えよ。

(1) 流体内の微小部分$\Delta x\Delta y$に働く力を考えることにより、平板間の流体の速度分布$u(y)$が従う方程式が、

$$\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}=\frac{dp}{dx}$$

で与えられることを示せ。

(2) 上式を適切な境界条件の下で解いて、速度分布$u(y)$を求めよ。

(3) $bU>0$で断面平均の正味の流量が0になっている時の$U=U_0$を求めよ。この時の速度分布を図示せよ。図中では$U_0$を定数として用いて良い。

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解答：

(1)
定常状態における$x$方向の微小流体要素の力の釣り合いより：

$$p\Delta y-\left(p+\frac{dp}{dx}\Delta x\right)\Delta y+\left(\tau +\frac{d\tau }{dy}\Delta y\right)\Delta x-\tau \Delta x=0$$ $$\begin{array}{rl}-\frac{dp}{dx}\Delta x\Delta y+\frac{d\tau }{dy}\Delta x\Delta y& =0\\ ⟹\frac{d\tau }{dy}& =\frac{dp}{dx}\end{array}$$

ニュートンの粘性法則 $\tau =\mu \frac{du}{dy}$ を代入して：

$$\mu \frac{d^{2}u}{d{y}^2}=\frac{dp}{dx}\text{(証明終)}$$

(2)
境界条件：$u(0)=0,u(h)=U$
方程式を$y$について2回積分する（$\frac{dp}{dx}=b$）：

$$u(y)=\frac{b}{2\mu }{y}^2+C_{1}y+C_2$$ $$\begin{array}{rl}u(0)& =0\\ ⟹C_2& =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}u(h)& =U\\ ⟹\frac{b}{2\mu }{h}^2+C_{1}h& =U\\ ⟹C_1& =\frac{U}{h}-\frac{bh}{2\mu }\end{array}$$ $$\boxed{u(y)=\frac{b}{2\mu }(y^2-hy)+U\frac{y}{h}}$$

(3)
単位奥行きあたりの流量 $Q={\int }_0^{h}u(y)dy=0$ より：

$$\begin{array}{rl}Q& ={\int }_0^h\left(\frac{b}{2\mu }(y^2-hy)+U\frac{y}{h}\right)dy\\ & =\frac{b}{2\mu }{\left[\frac{y^3}{3}-\frac{h{y}^2}{2}\right]}_0^h+U{\left[\frac{y^2}{2h}\right]}_0^h\\ & =0\end{array}$$ $$\begin{array}{rlrlr}-\frac{b{h}^3}{12\mu }+\frac{Uh}{2}& =0& & & \\ ⟹\boxed{U_0=\frac{b{h}^2}{6\mu }}& & & & \end{array}$$

このとき、$b=\frac{6\mu U_0}{h^2}$ を速度分布の式に代入すると：

$$\begin{array}{rl}u(y)& =\frac{3U_0}{h^2}(y^2-hy)+U_0\frac{y}{h}\\ & =U_0\left(3{\left(\frac{y}{h}\right)}^2-2\left(\frac{y}{h}\right)\right)\end{array}$$

速度分布の図示：
（$y=0,\frac{2}{3}h$で$u=0$、$y=\frac{1}{3}h$で頂点$u=-\frac{1}{3}{U}_0$をとる放物線）