0024-2000 东大工 数学 P21

微分积分 微积分 向量分析

$$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}=8$$

で表される曲面 $S$ について，以下の問いに答えよ。ただし，$r$ を $S$ 上の点の位置ベクトルとする。

(1) 点 $P(2a,2b,0)$ における外向き単位法線ベクトル $n$ を求めよ。

(2) 点 $P(2a,2b,0)$ から点 $(4a,3b,c)$ の方向への

$$\varphi (x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$$

の微分係数を求めよ。

(3) $r$ と外向きの面積要素ベクトル $dS$ の内積の積分

$${\iint }_{S}r\cdot dS$$

を $a=b=c$ の場合について求めよ。

(4) $S$ と平面 $z=0$ の交線 $C$ に関して

$${\oint }_{C}r\times dr$$

を計算し，結果を $x,y,z$ 成分の絶対値で示せ。

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解答：

(1)
$\varphi (x,y,z)=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}$ とおく。

$$\nabla \varphi =\left(\frac{2x}{a^2},\frac{2y}{b^2},\frac{2z}{c^2}\right)$$

点 $P(2a,2b,0)$ において

$$\nabla \varphi (P)=\left(\frac{4}{a},\frac{4}{b},0\right)$$ $$\begin{array}{rl}|\nabla \varphi (P)|& =4\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}\\ & =\frac{4\sqrt{a^2+b^2}}{|ab|}\end{array}$$ $$\boxed{n=\frac{\nabla \varphi (P)}{|\nabla \varphi (P)|}=\frac{|ab|}{\sqrt{a^2+b^2}}\left(\frac{1}{a},\frac{1}{b},0\right)}$$

(2)
方向ベクトル $\vec{v}=(4a-2a,3b-2b,c-0)=(2a,b,c)$
単位方向ベクトル $\vec{e}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{1}{\sqrt{4a^2+b^2+c^2}}(2a,b,c)$
方向微分係数は

$$\begin{array}{rl}\nabla \varphi (P)\cdot \vec{e}& =\left(\frac{4}{a},\frac{4}{b},0\right)\cdot \frac{(2a,b,c)}{\sqrt{4a^2+b^2+c^2}}\\ & =\frac{8+4}{\sqrt{4a^2+b^2+c^2}}\end{array}$$ $$\boxed{\frac{12}{\sqrt{4a^2+b^2+c^2}}}$$

(3)
ガウスの発散定理より

$${\iint }_S\vec{r}\cdot d\vec{S}={\iiint }_V(\nabla \cdot \vec{r})dV$$ $$\begin{array}{rl}\nabla \cdot \vec{r}& =\frac{\partial x}{\partial x}+\frac{\partial y}{\partial y}+\frac{\partial z}{\partial z}\\ & =3\end{array}$$

$a=b=c$ のとき、$S$ は半径 $R=\sqrt{8a^2}=2\sqrt{2}|a|$ の球面。

$$\begin{array}{rl}V& =\frac{4}{3}\pi R^3\\ & =\frac{4}{3}\pi (16\sqrt{2}|a{|}^3)\\ & =\frac{64\sqrt{2}\pi }{3}|a{|}^3\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}{\iint }_S\vec{r}\cdot d\vec{S}& =3V\\ & =\boxed{64\sqrt{2}\pi |a{|}^3}\end{array}$$

(4)
交線 $C$ は $z=0$ 平面上の楕円 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=8$。
$\vec{r}=(x,y,0)$、$d\vec{r}=(dx,dy,0)$ より

$$\vec{r}\times d\vec{r}=(0,0,xdy-ydx)$$

グリーンの定理より、楕円の囲む領域を $D$ とすると

$$\begin{array}{rl}{\oint }_C(xdy-ydx)& ={\iint }_{D}2dxdy\\ & =2\times (\text{楕円の面積})\end{array}$$

楕円の半長軸・半短軸は $2\sqrt{2}|a|,2\sqrt{2}|b|$ なので、面積は $\pi (2\sqrt{2}|a|)(2\sqrt{2}|b|)=8\pi |ab|$。

$${\oint }_C\vec{r}\times d\vec{r}=(0,0,16\pi |ab|)$$

各成分の絶対値は

$$\boxed{(0,0,16\pi |ab|)}$$

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补充说明：
本题主要考察向量分析中的方向导数、曲面法向量、高斯散度定理以及格林公式或斯托克斯公式的应用。第一问求曲面的单位外法向量，直接对曲面方程求梯度即可，由于题目未明示参数正负，在求模长开方时需严谨地保留绝对值符号。第二问是标准的方向导数计算，先求出两点构成的方向向量并将其单位化，然后与第一问得到的曲面梯度向量做内积即可得到该方向的微分系数。第三问属于第二类曲面积分，观察到被积函数是位置向量与面元向量的内积，非常适合使用高斯散度定理将其转化为体积分，位置向量的散度恒为3，所以积分结果即为曲面所围封闭体积的三倍，在各参数相等时曲面退化为球面，直接套用球体体积公式即可完成计算。第四问计算线积分，由于交线完全位于坐标平面内，叉乘结果只有z分量存在非零项，且积分表达式在形式上正好对应闭合曲线所围平面区域面积的两倍，利用常见的椭圆面积公式可以快速得出结果，依题意将各成分取绝对值表示即可。