0022-2000 东大工 数学 P19

常微分方程 拉普拉斯变换

$f(x)$のラプラス変換を$\varphi (p)=L\{f(x)\}$と書く。
(1) $f(x)=e^{ax}\sin bx$ のラプラス変換を求めよ。
(2) $L\{x^{n}f(x)\}=(-1{)}^n\frac{d^n}{d{p}^n}\varphi (p)$ であることを示せ。
(3) $\varphi (p)=\frac{1}{(p-a{)}^n}(n=1,2,\dots )$ となる$f(x)$を求めよ。
(4) 上記の(2), (3)を利用して

$$\frac{d^{2}y}{d{x}^2}-2\frac{dy}{dx}+y=x^2{e}^{3x}$$

を $y(0)=\frac{dy}{dx}{|}_{x=0}=\frac{1}{2}$ の条件で解け。

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解答：

(1)

$$\begin{array}{rl}L\sin bx& ={\int }_0^{\infty }{e}^{-px}\sin bxdx\\ & =\frac{b}{p^2+b^2}\end{array}$$

推移定理より

$$\boxed{L\{e^{ax}\sin bx\}=\frac{b}{(p-a{)}^2+b^2}}$$

(2)

$$\varphi (p)={\int }_0^{\infty }f(x)e^{-px}dx$$

両辺を $p$ で $n$ 回微分すると

$$\begin{array}{rl}\frac{d^n}{d{p}^n}\varphi (p)& =\frac{d^n}{d{p}^n}{\int }_0^{\infty }f(x)e^{-px}dx\\ & ={\int }_0^{\infty }f(x)\frac{{\partial }^n}{\partial p^n}(e^{-px})dx\end{array}$$ $$\begin{array}{rl}& ={\int }_0^{\infty }f(x)(-x{)}^n{e}^{-px}dx\\ & =(-1{)}^n{\int }_0^{\infty }(x^{n}f(x))e^{-px}dx\end{array}$$ $$=(-1{)}^{n}L\{x^{n}f(x)\}$$

よって，$L\{x^{n}f(x)\}=(-1{)}^n\frac{d^n}{d{p}^n}\varphi (p)$ が成り立つ。(証明終)

(3)

$$\begin{array}{rl}L\{x^{n-1}\}& ={\int }_0^{\infty }{x}^{n-1}{e}^{-px}dx\\ & =\frac{(n-1)!}{p^n}\end{array}$$ $$L\left\{\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}\right\}=\frac{1}{p^n}$$

推移定理より

$$\boxed{f(x)=\frac{x^{n-1}}{(n-1)!}{e}^{ax}}$$

(4)
$L\{y\}=Y(p)$ とおく。

$$L\{y^{\prime }\}=pY-y(0)=pY-\frac{1}{2}$$ $$\begin{array}{rl}L\{y^{\prime \prime }\}& =p^{2}Y-py(0)-y^{\prime }(0)\\ & =p^{2}Y-\frac{1}{2}p-\frac{1}{2}\end{array}$$

(3)より、$L\{x^2{e}^{3x}\}=2L\left\{\frac{x^2}{2!}{e}^{3x}\right\}=\frac{2}{(p-3{)}^3}$
方程式の両辺をラプラス変換すると

$$\left(p^{2}Y-\frac{1}{2}p-\frac{1}{2}\right)-2\left(pY-\frac{1}{2}\right)+Y=\frac{2}{(p-3{)}^3}$$ $$(p^2-2p+1)Y-\frac{1}{2}p+\frac{1}{2}=\frac{2}{(p-3{)}^3}$$ $$(p-1{)}^{2}Y=\frac{1}{2}(p-1)+\frac{2}{(p-3{)}^3}$$ $$Y=\frac{1}{2(p-1)}+\frac{2}{(p-1{)}^2(p-3{)}^3}$$

部分分数分解を行う

$$\frac{2}{(p-1{)}^2(p-3{)}^3}=-\frac{3}{8(p-1)}-\frac{1}{4(p-1{)}^2}+\frac{3}{8(p-3)}-\frac{1}{2(p-3{)}^2}+\frac{1}{2(p-3{)}^3}$$

これを代入して整理すると

$$Y=\frac{1}{8(p-1)}-\frac{1}{4(p-1{)}^2}+\frac{3}{8(p-3)}-\frac{1}{2(p-3{)}^2}+\frac{1}{2(p-3{)}^3}$$

逆ラプラス変換を行う

$$\boxed{y(x)=\frac{1}{8}{e}^x-\frac{1}{4}x{e}^x+\frac{3}{8}{e}^{3x}-\frac{1}{2}x{e}^{3x}+\frac{1}{4}{x}^2{e}^{3x}}$$

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补充说明：
这道题主要考察了拉普拉斯变换的核心性质以及使用它求解常系数线性非齐次微分方程的方法。第一步求带指数衰减或增长的三角函数的变换，可以直接利用基本函数的拉普拉斯变换公式结合频域平移定理得出。第二步证明拉普拉斯变换的频域导数定理，只要利用积分符号内求导的规则，对复变量进行高阶求导就会自然产生负向的乘项。第三步是第二步定理与平移定理的逆向应用，能够让我们在遇到具有高阶极点的频域函数时快速写出它的时域原函数。第四步解常微分方程是拉普拉斯变换最典型的应用场景，将时域的微积分运算转变为频域的代数方程，代入初始条件得到输出的频域表达式后，再通过繁琐但有理有据的部分分式展开，利用前两步推导出的逆变换结论还原回时域得到最终解析解。这种方法有效避开了传统方法中先求齐次通解再猜特解的步骤。