0021-2000 东大工 数学 P19

线性代数 矩阵理论

次の各問に関して，その正誤を記し，証明せよ。
(1) 互いに直交する非零ベクトルは線形独立である。
(2) ベクトル ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ が線形独立であるとすると，ベクトル ${\mathbf{v}}_1-{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_2-{\mathbf{v}}_3,{\mathbf{v}}_3-{\mathbf{v}}_1$ も線形独立である。
(3) ベクトル ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_3$ が線形独立であるとすると，ベクトル ${\mathbf{v}}_1+{\mathbf{v}}_2,{\mathbf{v}}_2+{\mathbf{v}}_3,{\mathbf{v}}_3+{\mathbf{v}}_1$ も線形独立である。
(4) $B$ を線形独立な行ベクトルから構成される正方行列とすると，$B^2$ の行ベクトルも線形独立である。
(5) 正方行列 $A$ に関して $Ax=Ay$ が成立すれば，$x=y$ である。
(6) $A$ を $m\times n$ 行列（ただし，$m<n$）とするとき，方程式 $Ax=b$ は少なくとも1つの解を有する。
(7) $A$ を $m\times n$ 行列（ただし，$m>n$）とするとき，方程式 $Ax=b$ の解が一意となることがある。
(8) $A,B$ が共に対称行列であれば，$AB$ も対称行列である。

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解答：
(1) $\boxed{\text{正}}$
互いに直交する非零ベクトルを $v_1,\dots ,v_k$ とする。$\sum _{i=1}^k{c}_i{v}_i=0$ とおく。
$v_j$ との内積をとると，$c_j\Vert v_j{\Vert }^2=0$。$v_j\ne 0$ より $c_j=0$。よって線形独立。(証明終)

(2) $\boxed{\text{誤}}$
$1\cdot (v_1-v_2)+1\cdot (v_2-v_3)+1\cdot (v_3-v_1)=0$。
自明でない線形結合で零ベクトルとなるため，線形従属。(証明終)

(3) $\boxed{\text{正}}$
$c_1(v_1+v_2)+c_2(v_2+v_3)+c_3(v_3+v_1)=0$ とおく。

$$(c_1+c_3)v_1+(c_1+c_2)v_2+(c_2+c_3)v_3=0$$

$v_1,v_2,v_3$ は線形独立より，$c_1+c_3=0,c_1+c_2=0,c_2+c_3=0$。
これを解くと $c_1=c_2=c_3=0$。よって線形独立。(証明終)

(4) $\boxed{\text{正}}$
$B$ の行ベクトルが線形独立より $\det (B)\ne 0$。
$\det (B^2)=\det (B{)}^2\ne 0$ より，$B^2$ は正則。したがって行ベクトルも線形独立。(証明終)

(5) $\boxed{\text{誤}}$
反例：$A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\\ 0& 0\end{array}\right),x=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),y=\left(\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right)$ とする。
$Ax=Ay=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$ だが，$x\ne y$。(証明終)

(6) $\boxed{\text{誤}}$
反例：$m=1,n=2,A=\left(\begin{array}{cc}0& 0\end{array}\right),b=(1)$ とする。
$Ax=b⟹0x_1+0x_2=1$ を満たす解は存在しない。(証明終)

(7) $\boxed{\text{正}}$
例：$m=2,n=1,A=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right),b=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)$ とする。
$Ax=b⟹\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ 0\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right)⟹x_1=1$（一意解）。(証明終)

(8) $\boxed{\text{誤}}$
反例：$A=\left(\begin{array}{cc}1& 0\\ 0& 2\end{array}\right),B=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 1& 0\end{array}\right)$。
$AB=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 2& 0\end{array}\right),(AB{)}^T=\left(\begin{array}{cc}0& 2\\ 1& 0\end{array}\right)\ne AB$。よって対称ではない。(証明終)

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补充说明：
本题是考查线性代数基础概念的判断证明题。对于相互正交的非零向量，通过与自身做内积可以轻松提取出组合系数，证明其必定线性无关。在判断向量组的线性相关性时，构造全一的系数即可发现轮换相减的向量组相加为零，因此是线性相关的；而相加的向量组对应的系数矩阵行列式不为零，所以依然保持线性无关。方阵的行向量线性无关等价于矩阵可逆即行列式不为零，利用行列式的乘法性质很容易得出矩阵幂次也必然可逆。关于方程求解和矩阵映射，$Ax=Ay$ 能推导出 $x=y$ 的前提是方阵 $A$ 必须可逆，否则零空间非平凡就会出现多解；一般情况下，胖矩阵（未知数多于方程数）虽然通常有无穷多解，但也可能因为矛盾方程导致无解，而瘦矩阵（方程数多于未知数）在右端项刚好处于列空间且列满秩时是可以有唯一解的。最后，两个对称矩阵的乘积通常不再是对称矩阵，除非这两个矩阵恰好满足乘法交换律。在举反例证明错误结论时，构造最简单的对角矩阵和置换矩阵或者全零矩阵往往是最高效的策略。